Скорость на околоземной круговой орбите равна

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}},$$

где — гравитационная постоянная, — масса Земли, а — радиус орбиты спутника. Подставив значения, получаем = 7.7 км/с.

Это довольно большая скорость. Из-за конечности скорости света наблюдаемое в телескоп положение спутника всегда отстает от его реального местоположения. Кроме того, за время, необходимое лазерному лучу, чтобы достичь спутника, тот успевает сместиться еще на некоторое расстояние. Поэтому радиус пятна лазерного луча должен быть не меньше, чем расстояние, пройденное спутником. Время движения света туда и обратно = 2/, где расстояние до спутника, — скорость света.

Рассмотрим сначала лазерную локацию в зените. Тогда 1 = 400 км и 1 ≈ 2.7 мс. За это время спутник переместится на расстояние 1 = 1 ≈ 20.5 м. Мы получили, что для выполнения локации диаметр пучка должен быть не менее 41 метра.

Теперь перейдем к локации на горизонте. Радиус Земли обозначим как . Тогда расстояние до спутника можно получить из теоремы Пифагора:

$$L_2 = \sqrt{r^2 - R^2} \approx 2300 \, \mathrm{km}.$$

Теперь, однако, спутник движется под углом к лучу зрения. Угол между вектором скорости спутника и его проекцией перпендикулярно лучу зрения равен углу между лучом зрения и радиусом орбиты спутника. Тогда из прямоугольного треугольника 2 находим:

$$\sin \gamma = \frac{R}{r} \quad \Rightarrow \quad \gamma = \arcsin\left(\frac{R}{r}\right) \approx 70^{\circ}.$$

Проекция скорости спутника, перпендикулярная лучу зрения, равна

$$u = v \cos \gamma \approx 2.6 \,\mathrm{km/c}$$ .

Тогда расстояние, которое проходит спутник за время локации, равно

$$l_2 = u \cdot 2L_2/c \approx 40 \,\mathrm{M},$$

а диаметр пучка — 80 метров.

Замечание 1. Можно заметить, что за время прохождения сигнала $(t_1$ и $t_2)$ Земля успевает немного повернуться вокруг своей оси. При локации в зените этим эффектом можно пренебречь, поскольку вращение происходит вокруг луча зрения, а при локации на горизонте заслуживает рассмотрения. Время движения луча туда и обратно $t_2=15.3\,\mathrm{mc}$ . За это время Земля поворачивается на угол $\frac{15.3\times10^{-3}}{86164}\cdot2\pi\approx1.12\times10^{-6}\,\mathrm{рад}\approx0.23''$ , что соответствует длине дуги 2.6 м на расстоянии спутника. Это смещение в 20 раз меньше $l_2$ и не оказывает существенного влияния на ответ.

Замечание 2. Лазерная локация на малых высотах (меньше $20^{\circ}$ – $30^{\circ}$ над горизонтом) не проводится из-за сильного поглощения и искажения сигнала атмосферой.

Замечание 3. В реальной практике лазерный луч действительно уширяется на десятки метров, поэтому наведение происходит непосредственно на спутник без упреждения на его смещение за время движения луча.

≈ 20.5 м.