Обозначим через радиус круговой орбиты, а через – угол между нормалью к плоскости орбиты и лучом зрения. Тогда = 0∘ соответствует орбите, видимой плашмя, а = 90∘ – орбите, видимой с ребра. Достаточно рассматривать

$$0 \le i \le \frac{\pi}{2},$$

поскольку две противоположные нормали задают одну и ту же плоскость орбиты.

В момент соединения расстояние от центра планеты до центра диска звезды в проекции на небо равно

$$b = a\cos i.$$

Транзит возможен, если это расстояние не превосходит радиуса звезды:

$$a\cos i \le R_{\odot}$$

Значит, транзитные ориентации удовлетворяют условию

$$i \ge i_0, \qquad \cos i_0 = \frac{R_{\odot}}{a}.$$

Теперь найдём долю систем с такими ориентациями орбит. При случайной ориентации плоскости орбиты направление её нормали равномерно распределено по сфере. На единичной сфере условия

$$i_0 \le i \le \frac{\pi}{2}$$

задают сферический пояс. Его высота равна

$$\cos i_0 - \cos \frac{\pi}{2} = \cos i_0.$$

Площадь сферического пояса на единичной сфере равна произведению 2 на его высоту. Вся полусфера возможных различных плоскостей имеет площадь 2, поэтому доля подходящих ориентаций равна

$$p_{\rm tr} = \frac{2\pi \cos i_0}{2\pi} = \cos i_0 = \frac{R_{\odot}}{a}.$$

Эквивалентная интегральная запись этого шага:

$$p_{\rm tr} = \frac{\int_{i_0}^{\pi/2} \sin i \, di}{\int_0^{\pi/2} \sin i \, di} = \frac{R_{\odot}}{a}.$$

Из третьего закона Кеплера для солнцеподобной звезды

$$a = \left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{2/3}\,AU.$$

Следовательно,

$$p_{\rm tr} = \frac{R_{\odot}}{AU} \left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3} \approx 0.00465 \left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3}.$$

Отсюда сразу видна и зависимость

$$p_{\rm tr} \propto P^{-2/3}$$

и численная нормировка, необходимая для восстановления истинного числа планет.

В каждом диапазоне берём характерный период, равный среднему геометрическому его границ: √ √ √ √

$$P_i = \sqrt{2}, \ 2\sqrt{2}, \ 4\sqrt{2}, \ 8\sqrt{2}, \ 16\sqrt{2}, \ 32\sqrt{2} \,\mathrm{d}.$$

Для этих периодов получаем примерно следующие геометрические вероятности транзита:

$$0.189, 0.119, 0.0748, 0.0472, 0.0297, 0.0187.$$

Если в некотором диапазоне наблюдается obs планет, то соответствующее истинное их число оценивается как

$$N_{\mathrm{true}} \approx \frac{N_{\mathrm{obs}}}{p_{\mathrm{tr}}}.$$

Отсюда в распределении по диапазонам получаем примерные значения:

769, 926, 1096, 1273, 1347, 1176.

Суммируя, находим оценку общего числа планет в диапазоне периодов от 1 до 64 суток:

$$N_{\rm true,tot} \approx 6590.$$

При этом в наблюдаемом каталоге было всего

$$N_{\text{obs,tot}} = 145 + 110 + 82 + 60 + 40 + 22 = 459$$

планет.

Теперь найдём средний период. Для наблюдаемого каталога используем те же характерные периоды :

$$\langle P \rangle_{\rm obs} \approx \frac{\sum N_{{\rm obs},i} P_i}{\sum N_{{\rm obs},i}}.$$

Подстановка чисел даёт

$$\langle P \rangle_{\rm obs} \approx 7.8 \,\mathrm{d}.$$

Для истинной популяции периоды нужно усреднять с весами, равными восстановленным числам планет:

$$\langle P \rangle_{\text{true}} \approx \frac{\sum N_{\text{true},i} P_i}{\sum N_{\text{true},i}} \approx 16.4 \,\text{d.}$$

Плоский случай

Дополнительно рассмотрим плоский случай, который использовало большинство участников: плоскость орбиты проворачивается относительно картинной плоскости только в одном направлении. При таком ограничении ориентации орбиты транзит возможен тогда, когда луч зрения проходит от плоскости орбиты не дальше, чем на расстояние порядка ⊙. Поэтому геометрическая вероятность транзита пропорциональна

$$p_{\rm tr} \propto \frac{2}{\pi} \frac{R_{\odot}}{a},$$

где – радиус орбиты. Из третьего закона Кеплера для солнцеподобной звезды следует:

$$P^2 \propto a^3, \qquad a \propto P^{2/3}.$$

Следовательно,

$$p_{\rm tr} = \frac{2}{\pi} \frac{R_{\odot}}{AU} \left(\frac{P}{1 \, yr}\right)^{-2/3} \approx 0.0093 \frac{1}{\pi} \left(\frac{P}{1 \, yr}\right)^{-2/3}.$$

В этом случае получаем следующие геометрические вероятности транзита:

$$0,120, 0,075, 0,0476, 0,03, 0,0189, 0,0119.$$

Отсюда при распределении по диапазонам получаем количество планет в истинной популяции:

1207, 1454, 1721, 2000, 2116, 1847.

Суммируя, находим оценку общего числа планет в диапазоне периодов от 1 до 64 суток:

$$N_{\rm true,tot} \approx 10345.$$

Остальные значения не меняются.

$N_{\rm true,tot} \approx 6590$.