Как известно, нейтральный водород излучает на линии 0 = 21 см. Исходя из этого, мы можем получить гелиоцентрическую лучевую скорость облака:

$$\frac{v_r}{c} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0},$$

$$v_r = 60 \text{ km/c}.$$

Отдельно отметим, что наблюдается красное смещение, а значит, облако удаляется от наблюдателя. Галактическая долгота отсчитывается от направления от Солнца S на центр Галактики O против часовой стрелки (если смотреть с северного полюса Галактики). Обозначим облако на рисунке буквой H и определим его лучевую скорость. Поскольку и Солнце, и облако находятся дальше 4 кпк от центра Галактики, примем их скорости одинаковыми и равными скорости на плато зависимости скорости от расстояния – , расстояние от Солнца до центра Галактики обозначим за 0, от облака до центра Галактики за . Вращение Галактики при этом происходит по часовой стрелке (опять же при наблюдении из северного полюса).

Тогда гелиоцентрическая лучевая скорость может быть выражена так:

$$v_r = v\sin\gamma - v\sin l.$$

Выражая из теоремы синусов для треугольник SOH синус угла получаем:

$$\sin \gamma = \sin l \frac{r_0}{r},$$

$$v_r = v \sin l \left(\frac{r_0}{r} - 1\right).$$

Сразу обозначим = / . В результате получаем связь между и для фиксированного :

$$k = \sin l \left( \frac{r_0}{r} - 1 \right).$$

В качестве оценки возьмём расстояние от Солнца до центра Галактики 0 = 8.3 кпк, а скорость на плато = 230 км/с. В данной задаче получаем:

$$k = \frac{v_r}{v} = 0.26.$$

Перейдём к нахождению возможных галактических долгот. Рассмотрим отдельно два случая: когда облако нейтрального водорода находится к центру Галактики ближе, чем Солнце и дальше, чем Солнце.

Первый случай. Рассмотрим вариант, когда ≤ 0, то есть облако не дальше от центра Галактики, чем Солнце. В таком случае для фиксированного существует максимально возможная галактическая долгота (аналог максимальной элонганции). Отдельно отметим, что, так как положительное, sin также должен быть положительным, а, значит, < 180∘ . Выражая sin , получим:

$$\sin l = \frac{k}{\frac{r_0}{r} - 1}.$$

При этом есть ограничение на sin :

$$\sin l \le \frac{r}{r_0}.$$

В результате получаем:

$$\frac{k}{\frac{r_0}{r}-1} \le \frac{r}{r_0} \Rightarrow k \le 1 - \frac{r}{r_0},$$

$$r \le (1-k)r_0.$$

Также из условия наблюдаемое облако нейтрального водорода уже находится на плато скоростей, а значит:

$$r \ge R_0$$

Видим, что галактическая долгота монотонно растёт с ростом для данного случая. Значит, границы для будут соответствовать граничным галактическим долготам:

$$\sin l_{min} = \frac{k}{\frac{r_0}{R_0} - 1}, \quad \sin l_{max} = \frac{k}{\frac{r_0}{(1 - k)r_0} - 1}$$

$$\sin l_{min} = k \frac{R_0}{r_0 - R_0}, \quad \sin l_{max} = 1 - k$$

Итого, имеем ограничения на галактическую долготу для первого случая:

$$14^{\circ} \le l \le 48^{\circ}$$

Второй случай. Рассмотрим вариант, когда > 0, то есть облако дальше от центра Галактики, чем Солнце. Здесь у нас нет дополнительных ограничений на , поэтому ограничения на галактическую долготу будут определяться из ограничений на . Заметим, что 0 / < 1, поэтому в данном случае sin < 0. Итак, из прошлого пункта:

$$\sin l = \frac{k}{\frac{r_0}{r} - 1}.$$

При увеличении значение sin в данном случае монотонно растёт. При этом снизу есть естественное ограничение sin ≥ −1. Заметим, что такая граница снизу не выходит за рамки рассматриваемого случая. Действительно, при sin = −1 получаем = 11.2 кпк, что больше чем 0, а значит именно sin ≥ −1 является нижней границей. Перейдём к оценке сверху:

$$\sin l = \frac{k}{\frac{r_0}{r} - 1} \le \frac{k}{\frac{r_0}{R} - 1}.$$

Итого, получаем ограничения на галактическую долготу для второго случая:

$$\sin l_{min} = -1, \quad \sin l_{max} = -k \frac{R}{R - r_0},$$

$$216^{\circ} \le l \le 324^{\circ}$$

На рисунке красными линиями обозначены геометрические места точек, где может располагаться облако HI для данного в обоих случаях.

∈ [14∘ ; 48∘ ] ∪ [216∘ , 324∘ ].