При наблюдениях с окуляром на видимый в телескоп угловой размер звезды влияет несколько факторов. Но в любом случае угловым размером видимого в окуляр диска звезды будет не менее углового разрешения глаза наблюдателя (т.е. 1 ′ ). Увеличение телескопа, плохое качество оптики или атмосферные эффекты могут увеличить видимый размер диска звезды, но не уменьшить его.

Вычислим дифракционное разрешение объектива телескопа. Для этого воспользуемся готовой формулой для визуальных наблюдений (можно использовать общую формулу дифракционного предела, ответ это не изменит)

$$\beta = 140''/D = 0.56'' \tag{3}$$

На рисунке показан профиль яркости дифракционной картины. По критерию Рэлея дифракционное разрешение объектива численно равно радиусу первого темного кольца дифракционной картины от точечного источника. Из рисунка видно, что полуширина профиля (FWHM) примерно равна этой же величине. В условии указано, что изображение звезды имеет равномерную яркость, значит, его можно считать однородным кружком диаметром .

Разглядывая это изображение с окуляром, астроном будет видеть его в Γ раз большим по угловым размерам (Γ — увеличение телескопа). Вычислим его:

$$\Gamma = F/f = 300,\tag{4}$$

и найдём угловой размер изображения звезды, каким его видит астроном в окуляр:

$$\beta' = \beta \cdot \Gamma \approx 168''. \tag{5}$$

Полученное значение больше углового разрешения глаза. Это значит, что при данном увеличении именно от размера дифракционного изображения звезды зависит возможность ее наблюдения.

Итак, астроном «на пределе» видит звезду на ярком сумеречном фоне, когда от нее приходит в 2 раза меньше света, чем от площадки фона диаметром = 0.56′′ .

Поле зрения телескопа ограничено полевой диафрагмой окуляра диаметром и составляет

$$\alpha = 206265d/F \approx 688''. \tag{6}$$

Найдем блеск площадки фона неба с угловым диаметром :

$$m = 2.5\lg(\alpha/\beta)^2 - 5 \approx 10.4^m. \tag{7}$$

В два раза более слабая звезда будет на 0.75m слабее. Это соответствует звездной величине ≈ 11.2 m.

≈ 11.2^m