$$l = \frac{1}{\pi["]} = 2.33$$ кпк.

Свет, отразившийся от пылевого облака, преодолел расстояние большее на величину, которую свет проходит за время, прошедшее с момента наблюдения самой сверхновой. Вспышка наблюдалась в 1572 году, то есть за 434 года до определения спектра. Но можно и примерно прикинуть время этого события. Например, опираясь на время работы Кеплера. Другое реперное событие — изобретение телескопа. Тихо Браге был, пожалуй, последней яркой фигурой в дотелескопической астрономии, а Кеплер уже модернизировал телескоп Галилея новым окуляром. Телескоп был изобретен примерно 400 лет назад, а молодость Тихо Браге должна была прийтись не менее чем на четверть века раньше. Для дальнейших вычислений будем принимать величину запаздывания отраженного сигнала равной ∆ = 400 лет. Следовательно, этот сигнал прошел дополнительные 400 световых лет или 123 пк.

Обратимся к рисунку. Обозначим точкой место вспышки сверхновой, — положение наблюдателя, а — пылевую структуру, отразившую свет сверхновой. Расстояние обозначим как 2, — как 1: 1 + 2 = + ∆.

Заметим, что последнее уравнение описывает геометрическое место точек , сумма расстояний которых от двух заданных точек и постоянна. Это геометрическое определение эллипса, то есть все отражающие структуры, которые мы можем видеть одновременно лежат на дуге эллипса (поверхности эллипсоида в общем случае).

Обозначим угол ∠ как . Запишем теорему косинусов для треугольника △:

$$L_2^2 = l^2 + L_1^2 - 2lL_1\cos\theta = l^2 + (l + c\Delta t - L_2)^2 - 2l(l + c\Delta t - L_2)\cos\theta;$$

Раскроем скобки в правой части. Тогда члены с 2 2 сократятся и уравнение станет линейным относительно 2. Проведя простые преобразования, получим:

$$L_2 = \frac{l^2 + (l + c\Delta t)^2 - 2l(l + c\Delta t)\cos\theta}{2(l + c\Delta t - l\cos\theta)}.$$

Угол — это угловое расстояние между пылевой структурой и сверхновой. Из координат видно, что это расстояние невелико, поэтому можем получить приближенное значение с помощью теоремы Пифагора. Главное, не забывать, что при больших склонениях координатная сетка по прямому восхождению сжата в cos раз.

$$\theta = \sqrt{\Delta \delta^2 + \Delta \alpha^2 \cdot \cos^2(\delta)} = \sqrt{6.9^2 + 20.4^2 \cdot \cos 61^\circ} \approx 12^\circ.$$

Здесь ⟨⟩ — среднее значение склонения, ∆ и ∆ — разности прямых восхождений и склонений сверхновой и пылевой структуры. Для любителей сферических треугольников приведем точное решение:

$$\theta = \arccos(\sin \delta \cdot \sin \delta_0 + \cos \delta \cdot \cos \delta_0 \cdot \cos \Delta \alpha) \approx 12^{\circ}.$$

Из полученной ранее формулы получаем

$$L_2 \approx 760 \; \text{пк} = 2500 \; \text{св.}$$ лет.

Комментарий. Результат с точностью до нескольких процентов совпадает с вычисленным расстоянием в статье «Scattered-light echoes from the historical galactic supernovae Cassiopeia A and Tycho (SN 1572)», из которой брались данные для этой задачи.

$L_2 \approx 760 \\text{пк} = 2500 \\text{св. лет}$.