$$F = \frac{L}{4\pi d^2}.$$

Минимальному значению потока $F_{\min}$ соответствуют звезды, находящиеся на максимальном расстоянии $d_{\max}$ . Тогда

$$d_{\rm max} = \sqrt{\frac{L}{4\pi F_{\rm min}}} \propto L^{1/2}.$$

Пусть $V_{\rm max}=\frac{4}{3}\pi d_{\rm max}^3$ — объем, в котором находятся все видимые звезды данного типа. Тогда число звезд в этом объеме:

$$N = nV = \frac{4}{3}\pi \, n \, d_{\text{max}}^3 \propto n \, d_{\text{max}}^3 \propto n L^{3/2},$$

где n — пространственная плотность числа звёзд данного типа. Следовательно, отношение числа красных гигантов $N_{\rm g}$ к числу карликов $N_{\rm d}$ равно:

$$\frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{n_{\rm g}}{n_{\rm d}} \left(\frac{L_{\rm g}}{L_{\rm d}}\right)^{3/2}.$$

Абсолютные звездные величины гигантов и карликов отличаются на $5.5^m$ звездных величин. Тогда из формулы Погсона получаем:

$$\frac{L_{\rm g}}{L_{\rm d}} = 10^{-0.4(-0.5-5)} \approx 158.$$

Отношение пространственных плотностей задано в условии. Подставим числа:

$$\frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{1}{400} \cdot 158^{3/2} \approx \frac{1986}{400} \approx 5.$$

Значит, в таком каталоге красных гигантов окажется в 5 раз больше, при том, что в пространстве они встречаются в 400 раз реже. Причина этого кажущегося парадокса в том, что яркая звезда видна с гораздо большего расстояния, то есть мы их выбираем из гораздо большего объема пространства.

Альтернативное решение. Выразим предельные звездные величины для красных гигантов и желтых карликов:

$$m_{\lim} = M_g - 5 + 5 \lg d_{\max g},$$

$$m_{\lim} = M_d - 5 + 5 \lg d_{\max d}.$$

Так как предельная звездная величина одинакова из-за одинакового предельного потока:

$$M_g - 5 + 5 \lg d_{\max g} = M_d - 5 + 5 \lg d_{\max d},$$

$$5 \lg d_{\max g} - 5 \lg d_{\max d} = M_d - M_g.$$

Тогда отношение предельных расстояний:

$$\frac{d_{\text{max }g}}{d_{\text{max }d}} = 10^{\frac{M_d - M_g}{5}} = 10^{\frac{5 - (-0.5)}{5}} = 10^{1.1} \approx 12.59,$$

и итоговое отношение числа звезд:

$$\frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{n_{\rm g}}{n_{\rm d}} \frac{\frac{4}{3}\pi \, d_{\max g}^3}{\frac{4}{3}\pi \, d_{\max d}^3} = \frac{12.59^3}{400} = \frac{1986}{400} \approx 5.$$

\frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{n_{\rm g}}{n_{\rm d}} \left(\frac{L_{\rm g}}{L_{\rm d}}\right)^{3/2}.