№ 10.3Конфигурации Юпитера и Сатурна
7 декабря 2004 года верхняя кульминация Юпитера произошла примерно на 5 часов позже верхней кульминации Сатурна. Какое расстояние разделяло эти планеты в пространстве, если известно, что 5 декабря наблюдалась последняя четверть Луны, а двумя днями позже произошло соединение Юпитера с Луной? Орбиты Земли, Юпитера, Сатурна и Луны считать круговыми.
Во время последней четверти Луны наш естественный спутник находится в 90° к западу от Солнца. Полный оборот относительно Солнца Луна завершает за 29.53 суток, приближаясь к нему с запада на 12.2° за сутки. Поэтому во время соединения Луны и Юпитера оба
светила располагались примерно в $\gamma_1$ =66° к западу от Солнца. Сатурн кульминирует на 5 часов раньше, то есть находится на 75° западнее Юпитера, и его угловое расстояние от Солнца $\gamma_2$ составляет примерно 141°.
Решение
Обозначим радиус орбит Земли, Юпитера и Сатурна через R, $r_1$ и $r_2$ соответственно, расстояния от Земли до Юпитера и Сатурна — через $d_1$ и $d_2$ . Для треугольников "Солнце-Земля-Юпитер" и "Солнце-Земля-Сатурн" справедлива теорема косинусов:
$$r_{1,2}^2 = R^2 + d_{1,2}^2 - 2R d_{1,2} \cos \gamma_{1,2}$$
Решая эти квадратные уравнения, получаем выражения для расстояний от Земли до обеих планет (выбирая положительные корни уравнений):
$$d_{1,2} = R \cos \gamma_{1,2} + \sqrt{R^2 \cos^2 \gamma_{1,2} + r_{1,2}^2 - R^2}.$$
Подставляя численные значения, получаем величины расстояний до Юпитера и Сатурна: 5.5 a.e. и 8.7 a.e. соответственно. Для вычисления
расстояния между Юпитером и Сатурном L вновь применим теорему косинусов:
$$L^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(\gamma_2 - \gamma_1).$$
В результате получаем, что расстояние между Юпитером и Сатурном составляет около 9.1 а.е.
Пять ярких планет (О.С. Угольников)
Класс: 10 Задача: 4
Ответ
9.1 а.е.