• Устойчивость шарообразной галактики-спутника зависит от того, достаточно ли его притяжения для удержания всех частей шара, или они могут перейти на самостоятельные орбиты вокруг центра главной галактики. Последнее может произойти, если какая-либо точка внутри (или хотя бы на поверхности) шара окажется в так называемой внутренней точке Лагранжа системы "галактика-спутник". Эта точка находится на отрезке, соединяющей центры галактики и спутника, и ее положение определяется тем, что материальное тело в этой точке будет обращаться вокруг центра главной галактики с той же угловой скоростью φ, что и галактика-спутник, оставаясь на линии, соединяющей центры галактик. При дальнейшем удалении от спутника тело перейдет на самостоятельную орбиту вокруг центра главной галактики. Таким образом, максимальный радиус спутника R есть расстояние от центра спутника до внутренней точки Лагранжа. Найдем это расстояние.

Полная масса галактики и распределение массы внутри нее неизвестны, однако мы знаем величину круговой орбитальной скорости v на любом расстоянии от центра галактики, а значит, знаем и величину ускорения силы тяжести. Угловая скорость движения спутника равна

$$\omega = \frac{v}{L}$$

где L — расстояние от центра галактики до центра спутника. На край спутника, находящийся ближе всего к центру галактики, действуют силы притяжения от галактики и от самого спутника. Ускорения этих сил направлены в противоположные стороны и равны

$$g = \frac{v^2}{L - R}, \quad a = \frac{GM}{R^2}.$$

Здесь M — масса спутника. Данная точка, как и весь спутник, движется относительно центра галактики с угловой скоростью $\omega$ . Отсюда мы получаем:

$$\omega^{2}(L-R) = \frac{v^{2}(L-R)}{L^{2}} = \frac{v^{2}}{L-R} - \frac{GM}{R^{2}}.$$

Предположим, что размер спутника существенно меньше его расстояния до центра галактики. В этом случае данное равенство можно упростить:

$$\frac{v^2}{L} - \frac{v^2 R}{L^2} = \frac{v^2}{L} (1 + \frac{R}{L}) - \frac{GM}{R^2}.$$

Из этого равенства следует:

$$\frac{2v^2R}{L^2} = \frac{GM}{R^2},$$

из чего получаем верхнюю оценку для радиуса спутника:

$$R = \left(\frac{GML^2}{2v^2}\right)^{1/3}.$$

Подставляя численные значения, получаем $10^{20}$ м или 3.3 кпк. Мы видим, что сделанное нами предположение, что данный радиус существенно меньше расстояния до центра галактики, оправдывается и допустимо для требуемой оценки. Максимальный диаметр спутника составляет 6.6 кпк.

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

Странная Луна (О.С. Угольников)

1