№ 9.4ВЗОР ВДОЛЬ ЛИНИИ АПСИД
На спутнике Земли установлены два одинаковых телескопа, направленные в противоположные стороны вдоль линии апсид орбиты спутника. Диск Земли проходит через центр поля зрения одного телескопа в 3 раза быстрее, чем через центр поля зрения другого телескопа. Размеры орбиты спутника значительно больше размеров Земли, спутник не вращается вокруг собственной оси. Найдите эксцентриситет орбиты спутника.
Решение
Изобразим Землю и орбиту спутника. Начертим линию апсид этой орбиты. Спутник не вращается вокруг собственной оси, и телескопы всегда направлены параллельно этой линии. В один из них Земля будет видна в перигее, в другой – в апогее орбиты. Земля будет занимать центр поля зрения одного из телескопов до момента, пока ось телескопов не станет касательной к Земле. Эти положения также показаны на рисунке.
По условию задачи, размеры орбиты существенно больше диаметра Земли. Поэтому участки орбиты, с которых Земля будет видна в центре поля зрения телескопов, можно считать отрезками прямой линии. Соединим концы этих отрезков с центром Земли и рассчитаем соотношение площадей полученных двух треугольников:
$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{DL_1/2}{DL_2/2} = \frac{L_1}{L_2}.$$
Здесь $L_1$ и $L_2$ — расстояния спутника от центра Земли в перигее и апогее соответственно, D — диаметр Земли. По II закону Кеплера, соотношение времен, за которое спутник проходит указанные отрезки, $T_1/T_2$ , будет таким же и составит 1/3. Отсюда мы получаем $L_2$ = $3L_1$ . Эксцентриситет орбиты спутника равен
$$e = \frac{L_2 - L_1}{L_2 + L_1} = 0.5.$$
Ответ
e = \frac{L_2 - L_1}{L_2 + L_1} = 0.5.