Обозначим плотность паруса ρ, его толщину – d, а его площадь – S. На парус будут действовать две силы – притяжение Солнца и световое давление. Они направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сила притяжения, направленная к Солнцу, составляет !

$$F_{\rm G} = \frac{GMSd\rho}{R^2}.$$

Здесь M – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до паруса. Сила светового давления в случае идеального отражения равна удвоенному импульсу солнечных фотонов, попадающих в парус в единицу времени. Импульс каждого фотона p равен E/c, где E – его энергия, а c – скорость света. Отсюда получаем величину силы светового давления:

$$F_{\rm E} = \frac{LS}{2\pi cR^2}.$$

Здесь L – светимость Солнца. Под действием этих двух сил парус движется со скоростью v по окружности радиуса R:

$$Sd\rho \frac{v^2}{R} = \frac{GMSd\rho}{R^2} - \frac{LS}{2\pi cR^2}.$$

Отсюда получаем выражение для скорости:

$$v^{2} = \frac{GM}{R} - \frac{L}{2\pi c d\rho R} = v_{0}^{2} - \frac{L}{2\pi c d\rho R}.$$

Здесь v0 – круговая скорость движения под действием только силы тяготения (орбитальная скорость Земли). Толщина паруса равна

$$d = \frac{L}{2\pi c \rho R(v_0^2 - v^2)} = \frac{Lv_0^2}{2\pi GMc\rho(v_0^2 - v^2)}.$$

Выражая скорости через орбитальные периоды, получаем:

$$d = \frac{LT^2T_0^2}{8\pi^3c\rho R^3(T^2 - T_0^2)} = \frac{LT^2}{2\pi GMc\rho(T^2 - T_0^2)}.$$

Здесь T – период обращения паруса, T0 – период обращения Земли вокруг Солнца. Толщина паруса составляет 1 микрону.

Толщина паруса составляет 1 микрону.