10 класс**: Решить задачу также для аппарата, пролетающего сквозь щель Гюйгенса (радиус 1.17**⋅105 км).

Как известно, из-за быстрого вращения планета Сатурн заметно сжата, ее полярный радиус на 10% меньше экваториального. Поэтому корабль мог пролетететь над полюсом на столь близком расстоянии от центра планеты. Он двигался относительно Сатурна по одному из конических сечений: эллипсу, параболе или гиперболе. Предположим, что корабль двигался по эллипсу. Кольца Сатурна расположены в плоскости его экватора. Поэтому в этом эллипсе нам из-!

вестно расстояние перисатурния r и фокальный параметр p – длина отрезка, перпендикулярного большой оси эллипса, соединяющего фокус F1 с точкой эллипса M.

Расстояние перисатурния r есть a(1–e), a расстояние от каждого из фокусов эллипса до его центра (точка O)

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

равно ae, где a – большая полуось эллипса, e – его эксцентриситет. Сумма расстояний от каждой точки эллипса до его фокусов равна 2a. Это относится и к точке M, в которой аппарат пролетел сквозь щель в кольцах:

$$2a = p + x = p + \sqrt{p^2 + 4a^2e^2}.$$

Решая это уравнение, мы получаем:

$$p = a (1 - e^2) = r (1 + e),$$

$e = (p/r) - 1.$

Подставляя в качестве p радиус щели Энке, получаем величину e, равную примерно 1.2. Таким образом, эта орбита не является эллиптической, и аппарат покинет окрестности Сатурна.

Далее – только для 10 класса:

Второй аппарат, пролетевший через щель Гюйгенса, действительно двигается по эллиптической орбите с эксцентриситетом 0.94. Расстояние апосатурния этого корабля составит:

$$R = a (1+e) = r \frac{1+e}{1-e} = \frac{r p}{2r-p}$$

Получается, что аппарат, прошедший через щель Гюйгенса, должен удалиться от Сатурна на 1.96⋅106 км. На таком, и даже на большем расстоянии располагаются естественные спутники планеты. Значит, такой аппарат останется спутником Сатурна.

1.96⋅106 км.