Как известно, сила фотонного давления на солнечный парус, как и сила притяжения Солнца, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до него. Поэтому отношение двух сил при постоянной ориентации паруса к Солнцу будет постоянно, и эффективная сила притяжения при раскрытом парусе будет всегда составлять 24/25 от истинной силы притяжения Солнца.

Пусть после n оборотов, на каждом из которых парус сначала разворачивался в перигелии, а затем сворачивался в афелии, аппарат движется по орбите с большой полуосью $a_{\rm n}$ и эксцентриситетом $e_{\rm n}$ (до первого раскрытия паруса $a_0$ =1 а.е. и $e_0$ =0). В точке перигелия расстояние аппарата от Солнца и его скорость составят

$$r_{\rm n} = a_{\rm n} (1 - e_{\rm n});$$

$$V_n = \sqrt{\frac{GM}{a_n} \cdot \frac{1 + e_n}{1 - e_n}} = \sqrt{\frac{GM}{r_n} \cdot (1 + e_n)}.$$

В данной точке аппарат раскрывает парус, и его дальнейшее движение будет таким же, как оно было бы в поле тяжести звезды с массой 24M/25 (M — масса Солнца). Очевидно, что данная точка будет перигелием и этой орбиты. Для новых параметров орбиты $A_{\rm n+1}$ и $E_{\rm n+1}$ справедливы соотношения:

$$r_{n} = A_{n+1} (1 - E_{n+1});$$

$$V_{n} = \sqrt{\frac{24GM}{25A_{n+1}}} \cdot \frac{1 + E_{n+1}}{1 - E_{n+1}} = \sqrt{\frac{24GM}{25r_{n}}} \cdot (1 + E_{n+1}).$$

Сопоставляя все формулы, мы получаем:

$$\frac{24}{25} \cdot (1 + E_{n+1}) = 1 + e_n; \quad E_{n+1} = \frac{25e_n + 1}{24}.$$

По новой траектории аппарату предстоит сделать половину оборота. Когда он достигнет афелия, его расстояние от Солнца и скорость будут равны:

$$R_{n+1} = A_{n+1} (1 + E_{n+1});$$

$$v_{n+1} = \sqrt{\frac{24GM}{25A_{n+1}}} \cdot \frac{1 - E_{n+1}}{1 + E_{n-1}} = \sqrt{\frac{24GM}{25R_{n+1}}} \cdot (1 - E_{n+1}).$$

В афелии парус сворачивается, и аппарат оказывается в обычном поле тяжести Солнца на орбите с большой полуосью $a_{n+1}$ и эксцентриситетом $e_{n+1}$ . Для них справедливы соотношения:

$$R_{n+1} = a_{n+1}(1+e_{n+1});$$

$$v_{n+1} = \sqrt{\frac{GM}{a_{n+1}} \cdot \frac{1 - e_{n+1}}{1 + e_{n-1}}} = \sqrt{\frac{GM}{R_{n+1}} \cdot (1 - e_{n+1})}.$$

Отсюда мы можем получить:

$$\frac{24}{25} \cdot (1 - E_{n+1}) = 1 - e_{n+1}; \quad e_{n+1} = \frac{24E_{n+1} + 1}{25} = \frac{25e_n + 2}{25} = e_n + \frac{2}{25} = e_n + 0.08.$$

Приращение эксцентриситета постоянно и не зависит от номера витка. С учетом $e_0$ =0, для траектории без паруса на витке n мы имеем: $e_n$ =2n/25. Для витка с раскрытым парусом

$$E_n = \frac{25e_{n-1} + 1}{24} = \frac{2n - 1}{24}.$$

Аппарат сделает 12 полных оборотов вокруг Солнца с периодически раскрывающимся парусом. 13-й виток уже не будет замкнутым, так как представит из себя гиперболу с эксцентриситетом $E_{13}$ =25/24~1.04. Раскрыв парус в 13-й раз, аппарат покинет Солнечную систему.

В задаче можно учитывать эффект Пойнтинга-Робертсона, связанный с тормозящим ускорением от боковых фотонов на движущийся аппарат. Однако он будет очень мал, и уменьшение эксцентриситета на 13-м витке составит примерно

0.0002. Траектория все равно будет гиперболической. Нужно также отметить, что с каждым новым витком у аппарата будет уменьшаться перигелийное расстояние. Однако, это не создаст проблем для его работы, так как расстояние в перигелии останется значительно больше радиуса Солнца. Чтобы доказать это, рассмотрим моменты перед раскрытием паруса в перигелии на i-том витке и запишем формулировку закона сохранения момента импульса (который, безусловно, выполняется для аппарата, так как сила фотонного давления центральная и не создает вращательного момента):

$$mV_{i}r_{i} = mV_{0}a_{0};$$

$$\sqrt{\frac{GM}{r_{i}}(1+e_{i})} \cdot r_{i} = \sqrt{\frac{GM}{a_{0}}} \cdot a_{0}.$$

Здесь m – масса аппарата. Отсюда можно записать выражение для перигелийного расстояния:

На всех участках витков со свернутым парусом эксцентриситет не превышает единицу, и перигелийные расстояния будут не меньше 0.5 а.е, то есть аппарат будет

всегда дальше от Солнца, чем Меркурий. Описанный маневр является возможным средством разгона тел с фотонными парусами в поле тяжести звезд. Его суть в чем-то аналогична взмаху крыла птицы и состоит в том, что парус раскрыт, когда аппарат удаляется от Солнца. Тем самым, фотоны сообщают ему ускорение по ходу движения и совершают положительную работу. На другой половине витка парус сворачивается, и фотоны не оказывают тормозящее действие.

13-й виток уже не будет замкнутым, так как представит из себя гиперболу с эксцентриситетом $E_{13}$ =25/24~1.04. Раскрыв парус в 13-й раз, аппарат покинет Солнечную систему.