Угловую скорость вращения спутника можно определить из III закона Кеплера:

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$$

где M — масса Земли, r — радиус орбиты спутника. Если задан горизонтальный параллакс спутника p, то радиус и угловую скорость можно определить по формулам:

$$r = \frac{R}{\sin p}$$ ; $\omega = \sqrt{\frac{GM}{R^3} \sin^3 p}$ .

Для двух спутников, заданных в условии задачи, мы получаем $\omega_1 = 2.5 \cdot 10^{-4} \text{ c}^{-1} \sim 51.5^{\circ}$ /ч и $\omega_2 = 9.0 \cdot 10^{-5} \text{ c}^{-1} \sim 18.5^{\circ}$ /ч. Зная высоту спутника над горизонтом (h), можно вычислить его геоцентрическое зенитное расстояние (см. рисунок):

$$\sin \gamma = \frac{R}{r} \cos h;$$

$$\varphi = 180^{\circ} - \gamma - (90^{\circ} + h) = 90^{\circ} - \arcsin\left(\frac{R}{r} \cos h\right) - h = 90^{\circ} - \arcsin(\sin p \cos h) - h.$$

Получаем, что в системе координат, связанной с центром Земли, в начальный момент времени первый спутник отстоял от зенита на угол $\phi_{01} = 43^{\circ}$ , а второй — на угол $\phi_{02} = 25^{\circ}$ . Угловая скорость вращения Земли равна

$$\omega_0 = \frac{360^{\circ}}{T} = 15^{\circ} / \text{ч}.$$

Здесь T — продолжительность звездных суток. Очевидно, параллактическое смещение спутника не влияет на момент прохождения зенита, и мы можем далее ре-

Теоретический тур - 9 класс

шать задачу в геоцентрической системе. Тогда первый спутник движется относительно звезд к западу со скоростью $\omega_1$ . При этом зенит наблюдателя движется относительно звезд в противоположном направлении со скоростью $\omega_0$ . Значит, для того, чтобы попасть в зенит, спутнику необходимо зайти за горизонт на западе, а затем взойти на востоке. Для этого необходимо пройти угол $\phi_1 = 360^\circ - \phi_{01} = 317^\circ$ . Спутник достигнет зенита через время

$$t_1 = \frac{\varphi_1}{\omega_1 + \omega_0} = 4.8 \,\mathrm{y}.$$

Второй спутник со скоростью $\omega_2$ движется прямым движением в восточном направлении, и в том же направлении со скоростью $\omega_0$ движется зенит наблюдателя. Поскольку $\omega_2 > \omega_0$ , спутник будет медленно перемещаться по небу в восточном направлении. Чтобы попасть в зенит, спутнику надо преодолеть угловое расстояние $\phi_2 = \phi_{02} = 25^\circ$ . На это потребуется время

$$t_2 = \frac{\Phi_2}{\omega_1 - \omega_0} = 7.2 \text{ ч.}$$

Итого, первый спутник достигнет зенита раньше. Произойдет это через 4.8 ч.

Итого, первый спутник достигнет зенита раньше. Произойдет это через 4.8 ч.