№ 10.3 / 11.3НАКЛОННАЯ ЛИНИЯ
С помощью системы из телескопа и спектрографа с фокусным расстоянием 5 м и разрешением (масштабом) 10 А/мм получен спектр некоторой планеты. Наблюдатель находится в плоскости экватора планеты, щель спектрографа ориентирована вдоль этой же плоскости. Атмосферные линии в спектре планеты оказались наклоненными на угол 5° по отношению к линиям лабораторного источника света. Найдите расстояние до планеты, если ее период обращения вокруг своей оси равен 10 часам. Наблюдения проводятся в спектральной области около длины волны 5500 A.
Решение
Разрешение спектрографа ρ есть отношение разности длин волн двух соседних спектральных линий к расстоянию между этими линиями в наблюдаемом спектре. Для прибора, описанного в условии задачи, эта величина составляет:
$$\rho = \frac{\Delta \lambda}{\Delta l} = 10^{-6}.$$
Спектральная линия, которая наблюдается с этим прибором, есть изображение щели спектрографа в данной длине волны, в которой объект темнее (для линии поглощения) или светлее (для линии излучения), чем в окружающей спектральной
области. По условию задачи, щель спектрографа параллельна экватору планеты. Пусть планета создает в фокальной плоскости прибора изображение с экваториальным радиусом r0. Тогда за счет вращения планеты вид спектральной линии будет искажен, но она останется прямой. Это легко показать: возьмем точку экватора с долготой γ относительно меридиана, повернутого к Земле. При наблюдении с Земли она будет отстоять от центра диска на угловое расстояние
$$r = r_0 \sin \gamma$$ ,
а ее лучевая скорость будет равна
$$v = v_0 \sin \gamma = v_0 \frac{r}{r_0}.$$
Смещение соответствующего участка спектральной линии составит
$$\Delta l = \frac{\Delta \lambda}{\rho} = \frac{v\lambda}{c\rho} = \frac{v_0\lambda}{c\rho} \cdot \frac{r}{r_0} = \alpha \cdot r$$
Здесь c – скорость света, λ – длина волны спектрального диапазона, в котором проводятся наблюдения. Линия остается прямой, но наклоняется на угол α, выраженный в последней формуле в радианах (мы учитываем, что этот угол невелик). Теперь мы можем выразить величину линейной скорости на экваторе
$$v_0 = \frac{c \, \rho r_0 \alpha}{\lambda} = \frac{2 \pi \, R}{T}.$$
Теоретический тур - 10 класс
Здесь R — пространственный экваториальный радиус планеты, а T — период ее осевого вращения. Видимый радиус планеты b равен $r_0/F$ , где F — эффективное фокусное расстояние оптической системы. Расстояние до планеты равно
$$D = \frac{R}{b} = \frac{R}{r_0 / F} = \frac{RF}{r_0} = \frac{v_0 T}{2\pi} \cdot F \cdot \frac{c \rho \alpha}{v_0 \lambda} = \frac{FTc \rho \alpha}{2\pi \lambda}.$$
Подставляя численные данные, получаем расстояние в 1.35 млрд км или 9 а.е.
Х/ХІ.4 ЦЕПОЧКА НА ОРБИТЕ О.С. Угольников
Ответ
1.35 млрд км или 9 а.е.