По звездной карте мы видим, что 20 марта, в день своего перигелия, комета прошла точку осеннего равноденствия в небе Земли. То есть, в этот же момент она располагалась в плоскости эклиптики и в противостоянии с Солнцем. Это значит, что комета в пространстве находилась дальше от Солнца, чем Земля, и искомое расстояние между Землей и кометой d есть $r-r_0$ , где r- расстояние от кометы до Солнца, а $r_0$ – радиус орбиты Земли. Направление движения кометы в этот момент происходит перпендикулярно направлению на Солнце и Землю.

Заметим также, что комета (в отличие от внешних планет в противостоянии) двигалась относительно звезд в прямом направлении, с запада на восток. Это означает, что в пространстве комета перемещалась быстрее Земли, что возможно с учетом ее параболической орбиты. По рисунку мы видим, что комета 1 движется в небе Земли вдоль эклиптики. Так как сама Земля также перемещается в пространстве в плоскости эклиптики, мы можем сделать вывод, что плоскости орбит Земли и кометы 1 фактически совпадают. Комета 2 вблизи противостояния перемещалась вдоль небесного экватора, под углом $\varepsilon$ (23.4°) к эклиптике. Может показаться, что это и есть угол наклона орбиты кометы к плоскости эклиптики, но это не так: видимое перемещение кометы среди звезд есть наложение ее собственного движения и движения Земли, которые происходят в разных плоскостях.

Измерив угловое перемещение кометы на небе за 5 дней, мы получаем величину 4.9°. Ровно такую же дугу описывает за 5 дней Земля в своем орбитальном движении. Получается, что видимая угловая скорость кометы в небе Земли равна угловой скорости самой Земли $\omega_0$ . Изобразим Землю и комету на своих орбитах в момент перигелия кометы.

Обозначим вектора гелиоцентрических скоростей кометы и Земли как у и уо. Геоцентрическая скорость кометы равна

$$\mathbf{u} = \mathbf{v} - \mathbf{v_0}.$$

Угловая скорость движения кометы в небе Земли равна угловой скорости движения Земли по орбите:

$\omega_0 = \frac{u}{d} = \frac{v_0}{r_0}$ .

$u = v_0 \frac{d}{r}$ .

У кометы 1 соответствующий вектор $\mathbf{u}_1$ сонаправлен с вектором скорости движения Земли $\mathbf{v_0}$ . Гелиоцентрическая скорость кометы равна

Практический тур - 10-11 классы

$$v_1 = u_1 + v_0 = v_0 (1 + \frac{d_1}{r_0}).$$

Мы знаем, что орбита кометы параболическая, и гелиоцентрическая скорость есть вторая космическая для данного расстояния:

$$v_1 = v_0 \sqrt{\frac{2r_0}{r_0 + d_1}}.$$

Приравнивая две последние формулы и опуская знак корня в обеих частях уравнения, получаем:

$$\left(\frac{r_0+d_1}{r_0}\right)^2 = \frac{2r_0}{r_0+d_1}; \quad \left(\frac{r_0+d_1}{r_0}\right)^3 = 2.$$

$$d_1 = r_0(\sqrt[3]{2} - 1) = 0.26$$ a.e.

Далее мы рассматриваем только комету 2, поэтому соответствующий индекс у величин u, v и d можно опустить. Движение этой кометы и Земли происходит в разных плоскостях. Гелиоцентрическая скорость кометы равна

$$v = \sqrt{(u \sin \varepsilon)^2 + (u \cos \varepsilon + v_0)^2} = \sqrt{u^2 + 2v_0 u \cos \varepsilon + v_0^2} = v_0 \sqrt{\frac{d^2}{r_0^2} + 2\frac{d}{r_0} \cos \varepsilon + 1}.$$

Как и в случае первой кометы, орбита кометы параболическая, и гелиоцентрическая скорость есть вторая космическая для данного расстояния:

$$v = v_0 \sqrt{\frac{2r_0}{r_0 + d}}.$$

Приравнивая две последние формулы и опуская знак корня в обеих частях уравнения, получаем:

$$\frac{d^2}{r_0^2} + 2\frac{d}{r_0}\cos\varepsilon + 1 = \frac{2r_0}{r_0 + d}.$$

В общем виде, это кубическое уравнение, достаточно сложное для решения. Однако мы можем сделать некоторое упрощение, воспользовавшись тем, что угол $\varepsilon$ не очень большой. Обозначим отношение ( $d/r_0$ ) как x и перепишем уравнение:

$$(x+1)^3 = 2 + 2x(x+1)(1-\cos\varepsilon).$$

Рассмотрим для начала случай $\varepsilon = 0$ (фактически, это аналогично комете 1). Тогда мы получаем простое уравнение:

$$(x_0 + 1)^3 = 2$$ ; $x_0 = \sqrt[3]{2} - 1 = 0.260$ .

Для сложного случая пусть x =x0 +δx, где δ*x* – малая величина. Тогда

$$(x+1)^3 \approx (x_0+1)^3 + 3(x_0+1)^2 \delta x = 2 + 2(x_0+\delta x)(x_0+\delta x+1)(1-\cos\varepsilon)$$

Учтем, что величина (1–cosε) невелика, и пренебрежем в формуле слагаемыми, пропорциональными произведению двух малых величин (1–cosε)δx, а также δx2. Тогда получаем

$$3(x_0 + 1)^2 \delta x = 2(1 - \cos \varepsilon) x_0(x_0 + 1).$$

В итоге,

$$\delta x = \frac{2(1 - \cos \varepsilon)x_0}{3(x_0 + 1)}; \quad x = \sqrt[3]{2} - 1 + \frac{2(1 - \cos \varepsilon)(\sqrt[3]{2} - 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{2}} = 0.271.$$

Мы видим, что предположение о малости величины δx полностью оправдывается. Полученное в итоге значение x с точностью до третьего знака после запятой совпадает с истинным значением, получаемым при решении кубического уравнения

(0.272). Итак, комета располагалась примерно в 0.27 а.е. от Земли. Нам остается найти угол наклона орбиты кометы к плоскости эклиптики. Перигелийное расстояние кометы составляет 1.27 а.е. Гелиоцентрическая скорость кометы в момент перигелия равна

$$v = v_0 \sqrt{\frac{2r_0}{r_0 + d}}.$$

$$v \sin i = u \sin \varepsilon; \quad \sin i = \sin \varepsilon \frac{u}{v} = \sin \varepsilon \frac{v_0}{v} \cdot \frac{d}{r_0} = \sin \varepsilon \frac{d}{r_0} \sqrt{\frac{r_0 + d}{2r_0}}.$$

Наклонение орбиты кометы к плоскости эклиптики равно 4.9°.

Наклонение орбиты кометы к плоскости эклиптики равно 4.9°.