На звездной карте не указаны координаты, дан лишь масштаб. Однако мы можем отметить ряд обстоятельств, которые облегчают решение задачи. Среднее по времени движение объекта среди звезд направлено с запада на восток, с периодами попятного движения, как у внешних планет. Следовательно, объект движется вокруг Солнца в прямом направлении. Его петли симметричны относительно вертикальной оси, их положение соответствует одной и той же эклиптической широте (ординате на рисунке). Следовательно, гелиоцентрическая эклиптическая широта объекта в период наблюдений примерно постоянна.

Середина участка попятного движения соответствует противостоянию объекта. По отметкам мы можем установить, что оно происходит во второй половине сентября, вблизи осеннего равноденствия. Отметим положение объекта во время двух последовательных противостояний и найдем угловое расстояние между этими положениями:

$$\lambda = 1.37^{\circ}$$

Во время противостояний геоцентрическая и гелиоцентрическая эклиптическая долгота объекта совпадают. Если считать орбиту Земли круговой, то противостояния отстоят друг от

друга на Т=(361.4/360) или 1.004 года. Этот период можно считать равным одному году. Отсюда мы можем определить гелиоцентрическую угловую скорость объекта:

$$\omega = \lambda/T = 1.37^{\circ} /$$ год.

Вычислить сразу расстояние объекта от Солнца по его синодическому периоду нельзя, так как мы не знаем эксцентриситет орбиты. Для вычисления расстояния определим его годовое параллактическое смещение во время квадратуры. Так как объект расположен значительно дальше от Солнца, чем Земля, квадратура наступает через четверть года после противостояния. Находим положение объекта в это время и отмечаем его гелиоцентрическое положение, смещенное на угол $\lambda/4$ к востоку по отношению к положению противостояния. Параллактический угол равен

$$\gamma = 1.15^{\circ}$$

Отсюда мы вычисляем расстояние планеты от Солнца в астрономических единицах:

$$r = 1/\sin \gamma = 50$$ a.e.

Объект находится вблизи перигелия, и мы можем найти эксцентриситет его орбиты:

$$e = \frac{\omega^2}{\omega_0^2} - 1 = 0.8.$$

Здесь $\omega_0$ =1.02°/год — угловая скорость кругового движения, соответствующего данному расстоянию от Солнца. Большая полуось орбиты объекта равна 250 а.е., а период обращения — примерно 4000 лет.

Приведенный выше способ определения расстояния объекта от Солнца и его периода обращения не является единственным. Можно также измерить угловые скорости перемещения объекта по небу во время соединения (середина длинной дуги видимого пути объекта) и противостояния (середина короткой дуги):

$$\omega_1 = 0.023^{\circ}$$ /день; $\omega_2 = -0.016^{\circ}$ /день.

Знак «—» соответствует попятному движению астероида. Будем считать, что наклон орбиты астероида к плоскости эклиптики небольшой (в этом мы убедимся далее), а его скорость на интервале двух лет вблизи перигелия постоянна. Орбиту Земли мы можем считать круговой. Тогда в соединении расстояние до астероида можно считать равным $(r+r_E)$ , где $r_E$ — радиус орбиты Земли, а скорости астероида и Земли v и $v_E$ противоположны. В противостоянии расстояние уменьшается до $(r-r_E)$ , а скорости сонаправлены. Запишем выражения для угловых скоростей:

$$\omega_1 = \frac{v + v_E}{r + r_E}; \quad \omega_2 = \frac{v - v_E}{r - r_E}.$$

Решая эти уравнения, мы получаем выражение для расстояния астероида от Солнца:

$$r = \frac{2v_E - r_E(\omega_1 + \omega_2)}{\omega_1 - \omega_2} = r_E \frac{2\omega_E - \omega_1 - \omega_2}{\omega_1 - \omega_2}.$$

Здесь $\omega_E=v_E/r_E$ — угловая скорость орбитального движения Земли (0.986° /день). Мы получаем значение r, равное 50 а.е. Далее мы определяем линейную и угловую гелиоцентрическую скорость объекта:

$$v = r_E \frac{\omega_E(\omega_1 + \omega_2) - 2\omega_1\omega_2}{\omega_1 - \omega_2}; \quad \omega = \frac{v}{r} = \frac{\omega_E(\omega_1 + \omega_2) - 2\omega_1\omega_2}{2\omega_E - \omega_1 - \omega_2} \sim 1.4^{\circ} /$$ год.

Это близко к полученному выше значению, но имеет худшую точность, так как базируется на измерении более коротких отрезков на звездной карте.

Чтобы определить созвездие, нам нужно найти примерное значение угла наклона гелиоцентрического направления на объект к эклиптике. Для этого найдем вертикальный размер петли, описываемой объектом на небе:

$$\beta = 0.76^{\circ}$$

В противостоянии объект пояса Койпера находится на 2 а.е. ближе к Земле, чем в соединении и за счет этого виден на большем угловом расстоянии к северу от эклиптики.

Так как нас интересует примерное значение угла i, мы можем учесть, что объект значительно дальше от Солнца, чем Земля. Угол составляет

$$i = \arcsin \frac{r \sin \beta}{2d} = 20^{\circ}.$$

Астероид вступает в противостояние вблизи осеннего равноденствия. Следовательно, он находится в $20^{\circ}$ по направлению к северному полюсу эклиптики от точки весеннего равноденствия. Это соответствует созвездию Пегаса.

Система оценивания (от одного члена жюри). В задании нужно ответить на три вопроса, каждый из ответов оценивается по 4 балла. Первый вопрос связан с вычислением текущего расстояния от Солнца до объекта. Самым правильным способом является вычисление годового параллактического смещения объекта на небе вблизи его квадратуры. Вместо этого участник олимпиады может вычислить расстояние от Солнца до объекта по анализу угловых скоростей. Допускается неточность определения параллакса или расстояния в пределах 5%. Данный этап оценивается в 4 балла. Вероятными ошибками участников олимпиады могут быть:

1. Вычисление параллакса как полуширины петли видимого движения объекта (без слагаемого $\lambda/4$ в решении выше). Тогда параллакс получается равным $0.8^{\circ}$ , расстояние – около 70 а.е. В этом случае за выполнение данного этапа выставляется 2 балла. Данная ошибка также приводит к неверному ответу на другие вопросы задания. В частности, эксцентриситет орбиты объекта превышает единицу (около 4), и орбитального периода не существует. Ввиду абсурдности ответа в этом случае за второй этап выставляется 0 баллов, он также не оценивается, если в нем получается другой ответ из-за ошибок при вычислениях. На ответ на третий вопрос данная неточность не влияет, и в случае верного выполнения он оценивается в полной мере.

2. Расстояние объекта может быть вычислено по III закону Кеплера на основе синодического периода объекта или его смещения по небу за год. Фактически это означает предположение круговой орбиты объекта. В этом случае орбитальный период составляет около 260 лет, расстояние от Солнца – около 40 а.е. При таком выполнении за оба первых этапа выставляется по 1 баллу, третий при условии правильного выполнения оценивается в полной мере. При получении других ответов (в том числе правильного – 50 а.е.) за первый этап при такой методике оценка не может быть увеличена.

Второй этап состоит в вычислении орбитального периода объекта пояса Койпера и также оценивается в 4 балла. Для выполнения этого этапа необходимо определить эксцентриситет и большую полуось орбиты. Другой путь состоит в вычислении линейной скорости в перигелии. Если же орбита предполагается круговой, то оценка за весь второй этап не может превышать 1 балл. Оценка не снижается, если эксцентриситет попадает в интервал от 0.7 до 0.9, а орбитальный период – от 2200 до 11000 лет. При больших ошибках (эксцентриситет от 0.6 до 1.0) оценка за второй этап уменьшается на 2 балла, если это вызвано только ошибками измерений. При еще большей погрешности или при наличии физических ошибок или применений неверных формул (вне зависимости от ответа) оценка за весь этап не превосходит 1 балла.

Третий этап состоит в определении созвездия, в котором находился объект, и оценивается в 4 балла. Если при этом не производится правильных по методике вычислений видимой эклиптической широты объекта, то оценка составляет 1 балл в случае правильного ответа (Пегас) и 0 баллов во всех остальных случаях. Если широта вычисляется правильно, то оценка составляет не менее 2 баллов плюс еще 2 балла при правильно указанном созвездии. Ответ – созвездие Рыб, содержащее точку весеннего равноденствия – правильным не является.

НЕОБЫЧНАЯ СВЕРХНОВАЯ X/XI.8 О.С. Угольников