Обозначив радиус белого карлика как R, а его температуру как T, найдем его светимость в единицах светимости Солнца:

$$\frac{L_W}{L_0} = \left(\frac{T}{T_0}\right)^4 \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 = 1.3 \cdot 10^{-3}.$$

На правом снимке семь белых карликов видны на пределе чувствительности. Эти белые карлики – звезды, которые уже завершили свой эволюционный путь, пройдя стадии главной последовательности и красных гигантов. Возраст скопления (13 млрд лет) чуть больше времени жизни Солнца до стадии белого карлика $\tau_0$ (12 млрд лет). Время жизни звезд с массой, близкой к солнечной, до превращения в белый карлик, равно

$$\tau = \tau_0 \left( \frac{M_0}{M} \right)^3.$$

Здесь $M_0$ – масса Солнца. Приравняв время т и возраст скопления, получаем минимальную массу звезды, успевшей превратиться в белый карлик:

$$\frac{M_W}{M_0} = \left(\frac{\tau_0}{\tau}\right)^{1/3} \approx 1.$$

Получается, что в виде белых карликов мы наблюдаем практически все звезды с массой, большей массы Солнца, когда-то появившиеся в этом скоплении (разумеется, там были еще и более массивные звезды, закончившие свой жизненный путь в виде нейтронных звезд или черных дыр, но таких звезд было сравнительно мало).

Оценим теперь количество обычных звезд на этом же снимке, их около 100. Они удалены от нас на такое же расстояние, как белые карлики, и имеют светимость не меньше L. Это либо звезды главной последовательности с небольшой массой, либо красные гиганты, имеющие чуть большую массу и поэтому быстрее проходящие свой эволюционный путь. Самые слабые звезды, видимые на снимке, кроме белых карликов — это красные карлики, звезды главной последовательности с массой, меньшей, чем у Солнца. Для их светимости $L_R$ и массы $M_R$ справедливо соотношение $(L_R/L_0) \sim (M_R/M_0)^4$ . Определим массу, при которой светимость $L_R$ совпадет со светимостью белого карлика $L_W$ :

$$\frac{M_R}{M_0} = \left(\frac{L_W}{L_0}\right)^{1/4} = \frac{T}{T_0} \sqrt{\frac{R}{R_0}} \approx 0.2.$$

Очевидно, что красные гиганты, попавшие в поле зрения, имеют большую массу, так как менее массивные звезды еще не могут сойти с главной последовательности. Итак, мы видим на снимке $n_{\rm R}$ =100 звезд с начальной массой от $M_{\rm R}$ до $M_{\rm W}$ и $n_{\rm W}$ =7 звезд, которые имели начальную массу больше $M_{\rm W}$ . Записав начальную функцию масс скопления в виде, данном в условии, имеем:

$$\frac{M_W^{-N}}{M_R^{-N} - M_W^{-N}} = \frac{n_W}{n_R} = 0.07.$$

В результате решения уравнения мы имеем:

$$N = -\frac{\ln(n_W / (n_R + n_W))}{\ln(M_W / M_R)} = 1.7.$$

Полученный показатель близок к показателю классической функции масс Салпитера (1.35). Разница обусловлена, прежде всего, тем, что в реальности белые карлики имеют разные температуры, некоторые, самые холодные, могли оказаться слабее порога чувствительности камеры.

Система оценивания (от одного члена жюри). При проверке решения необходимо уделять первостепенное внимание не на численные ответы, которые могут несколько отличаться вследствие оценочного характера решения, а на методологию его построения. Решение состоит из нескольких этапов, порядок которых может меняться. Первый этап состоит в вычислении светимости белого карлика, которое должно быть выполнено математически точно и оценивается в 1 балл. Второй этап заключается в подсчете соотношения количества белых карликов и других звезд в поле зрения, он также оценивается в 1 балл. Третий этап состоит в нахождении минимальной массы звезды главной последовательности, при которой она будет заметна на снимке. Этот этап оценивается в 4 балла. Если участник при этом выбирает другое соотношение «масса-светимость» для звезд главной последовательности (с показателем степени не менее 3), то оценка уменьшается на 1 балл, дальнейшее решение оценивается в полной мере. Определение минимальной начальной массы звезды, которая будет наблюдаться как белый карлик, также оценивается в 4 балла. При этом допускаются незначительные отклонения значения времени жизни Солнца до превращения в белый карлик (±1 млрд лет – без изменения оценки, (±2 млрд лет – уменьшение на 1 балл). Наконец, определение показателя степени N оценивается в 2 балла.

Если в качестве числа N участники приводят известную величину из функции Салпитера, не приводя при этом правильного решения, максимальная оценка за все решение не превышает 2 баллов.

$N = -\frac{\ln(n_W / (n_R + n_W))}{\ln(M_W / M_R)} = 1.7.$