То, что Солнце находится в Скорпионе 7 дней в году, означает, что длина дуги эклиптики, проходящая через это созвездие, составляет примерно 7°. То есть, будущее противостояние Марса, о котором идет речь, должно наступить в точке неба, удаленной не более, чем на 3.5° (0.01 от полного круга) от положения в противостоянии в 2016 году.

При решении задачи мы, вообще говоря, должны учитывать эксцентриситет орбиты Марса. Он приводит к тому, что синодический период этой планеты не является величиной постоянной. Например, противостояния 2018 и 2020 годов будет разделять не 780, а целых 809 дней. Однако, нас будут интересовать противостояния вблизи одного положения Марса на орбите примерно в 90° от точки перигелия. Во время противостояния 2016 года Марс

располагался как раз на своем среднем расстоянии от Солнца – 1.52 а.е. Его угловая скорость вращения в этот момент также была близка к среднему значению. Поэтому при решении задачи мы будем считать орбитальное вращение Марса равномерным, а синодический период - постоянным.

Средний синодический период Марса составляет 780 дней или 2.135 года. Каждое следующее противостояние происходит через 1.5-2.5 месяца после предыдущего. Через 7-8 синодических периодов, составляющих 15 или 17 лет, противостояния Марса вернутся примерно на те же календарные сезоны и будут происходить в тех же областях неба. Но если мы рассчитаем точную длительность 7 и 8 синодических периодов, мы получим 14.945 и 17.080 лет. Помня о нашем упрощении (постоянство синодического периода), мы получаем, что соответствующие противостояния произойдут в 0.055 и 0.080 доли окружности от точки изначального противостояния. Это соответствует угловым расстояниям Δl в 19.8° и 28.8° к западу и востоку, что существенно больше половины дуги пути Солнца через созвездие Скорпиона. Поэтому через 15 и 17 лет, в 2031 и 2033 годах, противостояния Марса случатся в других созвездиях.

Чтобы облегчить решение задачи, будем проверять не все возможные значения количества синодических периодов, а числа N=7p+8q, где p и q – целые числа, отличающиеся не более, чем на единицу. Для таких N мы будем вычислять соответствующую величину времени в годах. Результаты занесем в таблицу:

Получаем, что следующее противостояние Марса в созвездии Скорпиона должно случиться через 79 лет («супер-синодический» период Марса), в 2095 году. В реальности оно произойдет 26 мая 2095 года.

Система оценивания (от одного члена жюри). Важным этапом решения является указание того, что эллиптичность орбиты Марса приводит к непостоянству его синодического периода и существенно влияет на даты противостояний и положение Марса на небе во время них. Участники олимпиады могут выполнять решение в общем виде, с учетом эксцентриситета орбиты Марса. Оно засчитывается полностью при условии правильного выполнения.

Если участники олимпиады приводят правильное обоснование, почему задачу можно решить и в более простом виде без учета эксцентриситета, это оценивается в 1 балл. Без этого обоснования последующее решение оценивается в полной мере, но максимальная оценка при правильном решении не превышает 7 баллов.

Основная часть решения может вестись разными способами. Можно, как сделано выше, определить максимальное угловое расстояние между положениями Марса в два противостояния (1 балл), из этого вычислить максимальное отклонение N синодических

периодов от целого числа лет (3 балла) и далее найти соответствующий промежуток времени (3 балла). Можно, наоборот, исследовать положения Марса через произвольное количество целых лет и найти момент, когда это положение будет близко к созвездию Скорпиона. Однако, в этом случае необходимо учитывать, что найденный момент не будет моментом противостояния, отличаясь от него на несколько дней. За это время Марс успевает сместиться среди звезд. Если этот фактор не учитывается, то даже при правильном ответе за вычислительную часть решения выставляется не более 3 из 7 баллов.

2095 году.