Пусть тело имеет диаметр D и сферическое альбедо A и обращается вокруг Солнца по круговой орбите на расстоянии L от него. Тогда плотность потока солнечной энергии около этого объекта составит $J/4\pi L^2$ , где J — светимость Солнца. Перехватывая эту энергию площадью $\pi D^2/4$ , тело будет отражать в пространство ее часть, соответствующую альбедо A. Будем считать, что свет телом отражается изотропно. Так как тело при наблюдении с Земли находится в противостоянии с Солнцем, его расстояние от Земли равно $(L-L_0)$ , где $L_0$ — расстояние от Земли до Солнца. В итоге, плотность потока энергии от тела на Земле составит

$$j = \frac{J}{4\pi L^2} \cdot \frac{\pi D^2 A}{4} \cdot \frac{1}{4\pi (L - L_0)^2} = \frac{JD^2 A}{64\pi L^2 (L - L_0)^2}.$$

Сравним теперь астероид главного пояса (индекс 1) и гипотетическую девятую планету Солнечной системы (индекс 2). Так как нас не интересуют абсолютные значения яркости, мы можем выражать расстояния в астрономических единицах, и тогда $L_0$ =1, а также опустить все константы в предыдущем выражении. Условие одинакового видимого блеска на Земле выражается как

$$\frac{D_1^2 A_1}{L_1^2 (L_1 - 1)^2} = \frac{D_2^2 A_2}{L_2^2 (L_2 - 1)^2}.$$

Отсюда мы получаем выражение для диаметра астероида

$$D_1 = D_2 \frac{L_1(L_1 - 1)}{L_2(L_2 - 1)} \sqrt{\frac{A_2}{A_1}}.$$

В качестве расстояния от Солнца до главного пояса астероидов $L_1$ возьмем 2.8 а.е. или $L_2/100$ . Величина $D_1$ оказывается равной 15 км.

Система оценивания (от одного члена жюри). Основой решения задачи является зависимость яркости планеты в противостоянии от ее диаметра, альбедо и расстояния от Солнца. Она может быть выведена или взятая как известная, ее правильная полная запись оценивается в 4 балла. Если при этом не учтен фактор альбедо, оценка снижается на 2 балла, но дальнейшие вычисления (с ответом около 7-8 км) оцениваются в полной мере.

Если неверно учтена зависимость от расстояния L – опущен один из множителей L или (L-1) и получен ответ около 2000 км — за все решение выставляется не более 2 баллов. Если зависимости получены правильно, но опущено слагаемое «-1», то это не является ошибкой для планеты, но уменьшает оценку на 2 балла в случае астероида. В качестве расстояния от Солнца до главного пояса астероидов участники могут брать величины от 2.0 до 3.3 а.е, в противном случае оценка уменьшается на 2 балла. При выходе астероида из пространства между орбитами Марса и Юпитера оценка уменьшается на 4 балла.

Вычисление диаметра астероида оценивается еще в 4 балла. Если при решении диаметр путается с радиусом – оценка уменьшается на 2 балла.

15 км.