Покрытие двойной звезды Луной наблюдается на экваторе, а Луна располагается в зените. Так как мы пренебрегаем наклоном орбиты Луны к экватору, мы можем считать, что скорость Луны v и наблюдателя на Земле $v_0$ сонаправлены.

Считая орбиту Луны круговой с радиусом L и обозначив ее орбитальный период через S, определим угловую скорость ее перемещения среди звезд на небе:

$$\omega = \frac{v - v_0}{L - R} = \frac{\frac{2\pi L}{S} - \frac{2\pi R}{S_0}}{L - R} = \frac{2\pi}{S} \cdot \frac{L - R(S/S_0)}{L - R} = 1.48 \cdot 10^{-6} \text{ c}^{-1} = 0.3''/\text{c}.$$

Здесь R — радиус Земли, $S_0$ — период ее осевого вращения. Итак, минимальное угловое расстояние $\rho$ между звездами, если предположить, что они располагались вдоль видимого радиуса диска Луны, равно 0.3''. Обратим внимание, что без учета вращения Земли мы бы получили почти вдвое большую величину (0.55''). Пространственное расстояние между компонентами двойной системы будет минимальным, если обе они располагаются в картинной плоскости. Тогда это расстояние d, выраженное в астрономических единицах, будет равно $\rho/\pi=3$ . Здесь $\pi$ — годичный параллакс звезды.

Так как нам нужно найти минимальный период обращения в системе, предположим, что в момент наблюдения звезды были в апоцентрах своих орбит, а в перицентре расстояние между ними будет значительно меньше. Тогда среднее расстояние между звездами a составит d/2=1.5 а.е. Суммарная масса системы M равна двум массам Солнца. Пользуясь обобщенным III законом Кеплера, получаем величину минимального периода в годах:

$$T = (a^3/M)^{1/2} \sim 1.3.$$

Система оценивания (от одного члена жюри). Решение разбивается на несколько этапов:

• 1. Определение минимального углового расстояния между звездами (3 балла);
• 2. Определение минимального пространственного расстояния между звездами (2 балла);
• 3. Вычисление минимального орбитального периода (3 балла).

Если минимальное угловое расстояние между звездами вычислено без учета вращения Земли (с ошибкой почти в 2 раза), то первый этап решения не засчитывается, но второй и второй этап при условии правильного выполнения и ответа около 3 лет оценивается полностью. Если же при выполнении первого этапа делается еще более грубая ошибка, то оценка за третий этап уменьшается до 1 балла. Если в качестве периода обращения Луны участники по ошибке используют синодический период (29.5 суток) — оценка за первый этап уменьшается на 1 балл. Отсутствие слагаемого -R в знаменателе формул (фактор параллакса Луны при расчете угловой скорости) также приводит к уменьшению оценки на 1 балл без влияния на оценки за последующие этапы.

Ошибочное выполнение второго этапа уменьшает максимальную оценку за третий этап также до 1 балла.

На третьем этапе, если в качестве массы M берется одна масса Солнца (т.е. используется простая формулировка III закона Кеплера), оценка за третий этап уменьшается на один балл. При другой ошибке в третьем этапе (неучет возможных эллиптических орбит, ответ около 3.5 лет) максимальная оценка за третий этап составляет 1 балл. При сочетании обеих ошибок (круговые орбиты и M=1) третий этап не оценивается.

ВНУТРИ ТУМАННОСТИ IX.6 О.С. Угольников

$T = (a^3/M)^{1/2} \sim 1.3.$