Самый простой способ решения этой задачи – учесть тот факт, что поверхностная яркость протяженного объекта не зависит от расстояния до него. Действительно, приблизившись к объекту вдвое, мы обнаружим, что он стал вчетверо ярче и занимает вчетверо большую угловую площадь на небе. Мысленно разбив сферическую туманность M57 на маленькие элементы и рассматривая каждый из них, как отдельный протяженный объект, можно сделать вывод, что поверхностная яркость туманности будет такой же и при наблюдении изнутри. Здесь нужно оговориться, что туманность разреженна, и ее газ не поглощает собственное излучение.

Теперь нам остается вычислить звездную величину всего небосвода площадью 2π стерадиан, если его поверхностная яркость такая же, как у M57 в небе Земли. Угловая площадь туманности на Земле равна

$$\sigma = \pi \delta^2 / 4 = 2.7 \cdot 10^{-7} \text{ cTep.}$$

Здесь δ – угловой диаметр туманности в радианах. Звездная величина полусферы внутри туманности составит

$$M = m - 2.5 \lg \frac{2\pi}{\sigma} = m - 2.5 \lg \frac{8}{\delta^2} = -9.5.$$

Эта звездная величина примерно соответствует Луне в фазе первой или последней четверти. Звездная величина одной квадратной секунды составит примерно 19m. Получается, что небо на планете внутри туманности ярче ночного безлунного неба на Земле, но существенно слабее земного неба в полнолуние. На этом небе вполне можно наблюдать большое количество звезд и других астрономических объектов.

Система оценивания (от одного члена жюри). Решение задачи разбивается на три основных этапа:

• 1. Вывод или указание о неизменности поверхностной яркости M57 при приближении к ней (3 балла);
• 2. Оценка яркости ночного неба внутри M57 (как звездной величины полусферы, с квадратного градуса, с квадратной секунды – достаточно одной любой оценки, 3 балла); полная сфера – балл.
• 3. Вывод о соотношении яркости ночного неба с земным (2 балла, достаточно сравнения с безлунным небом либо сравнения с небом в полнолуние).

Участник олимпиады может не делать вывод этапа 1 и переходить к непосредственному вычислению яркости ночного неба (этап 2). Это усложняет вычисления, но не является ошибкой и оценивается полным баллом (6 баллов за этапы 1+2) при условии правильности выводов и вычислений. Два балла за третий этап выставляются только при условии правильно выполненной предыдущей части задачи.

При использовании необоснованных дополнительных предположений относительно туманности (ее яркость, расстояние и т.д.) общая оценка не превышает 2 баллов. Использование грубых упрощений при расчете яркости туманности с малого расстояния уменьшают оценку на 4 балла.

При получении заведомо неверного ответа (например, небо будет светлым, как днем на Земле) общая оценка не может превышать 2 баллов вне зависимости от причины сделанной ошибки.

НАЗЕМНАЯ ФОТОМЕТРИЯ X/XI.1 Е.Н. Фадеев

Небо на планете внутри туманности ярче ночного безлунного неба на Земле, но существенно слабее земного неба в полнолуние.