№ 10.1 / 11.1НАЗЕМНАЯ ФОТОМЕТРИЯ
Условие. В фокальной плоскости телескопа с диаметром объектива 20 см изображение звезды выглядит в виде равномерно засвеченного пятна диаметром 20 мкм. Установленная в фокальной плоскости ПЗС-матрица фиксирует, что в пятне звезды регистрируется в 40 раз больше квантов света, чем в таком же по площади участке фона. Определить звездную величину звезды и относительное отверстие телескопа. Диаметр атмосферного диска дрожания точечного источника равен 2″, а яркость фона неба составляет 4.5m с квадратного градуса.
Решение
Звезда – точечный источник. В условии сказано, что из-за влияния атмосферы каждая точка видна в виде диска с угловым диаметром 2″ или 10–5 радиан. Линейный диаметр изображения объекта в фокальной плоскости a связан с его угловым размером α по формуле:
$$\alpha = a/f$$
Здесь f – фокусное расстояние объектива, которое получается равным 2 м. Относительное отверстие – размер апертуры, выраженный в ее фокусных расстояниях (отношение диаметра объектива к фокусному расстоянию), оно равно 1/10 (f/10).
Для ответа на второй вопрос надо заметить, что изображение звезды формируется не только светом звезды, но и фоном. Однако, по условию задачи звезда в 40 раз ярче, поэтому вклад фона в изображение звезды можно не учитывать. С площади диска дрожания звезды, равного πα2 /4 или 2.4·10–7 квадратного градуса, фон будет давать звездную величину
$$m = 4.5 - 2.5 \text{ lg } 2.4 \cdot 10^{-7} = 21.$$
Изображение от звезды в 40 (если быть совсем точным, то в 39) раз ярче, что соответствует разнице в 4 звездных величины. Итак, звезда имеет блеск 17m.
Система оценивания (от одного члена жюри). Решение задачи разбивается на две независимые части, которые могут выполняться в произвольном порядке. Каждая из них оценивается в 4 балла. Одна из них связана с определением относительного отверстия. Для этого необходимо найти фокусное расстояние объектива, что оценивается в 2 балла. Окончательный вывод оценивается еще в 2 балла.
Вторая часть решения связана с вычислением звездной величины звезды. Для этого нужно определить площадь, занимаемую изображением звезды в произвольных единицах, что оценивается в 1 балл. Он не выставляется при отсутствии множителя (π/4) или при сложении радиуса с радиусом кружка Эри (0.7″). Далее находится звездная величина фона с этой площади (2 балла) и, наконец, звездная величина звезды (1 балл). Альтернативный порядок
действий предусматривает вычисление звездной величины фона с квадратной секунды (2 балла), звездной величины звезды с квадратной секунды (1 балл) и полной звездной величины звезды (1 балл). Ошибки, сделанные на начальных этапах, могут приводить к снижению оценок за последующие этапы в случае существенного расхождения численного ответа с правильным.
Х.2 КОРОТКИЙ ВИЗИТ
О.С. Угольников
Ответ
Звезда имеет блеск 17m.