Как известно, энергетически оптимальная траектория — эллипс, перигелий которого располагается на орбите Земли, афелий — на орбите планеты. Коль скоро аппарат после сближения с планетой продолжил движение по той же орбите и достиг Земли в той же точке, в которой он стартовал, можно сделать вывод, что весь полет занял целое число лет. Очевидно, что это невозможно в случае полета к внутренней планете, так как в этом случае полет занял бы меньше года. Нам необходимо рассмотреть случай внешней планеты. Изобразим схему всей миссии:

Обозначим расстояние от Солнца до планеты (в астрономических единицах) через r. Большая полуось орбиты аппарата равна (r+1)/2, а время всей миссии, выраженное в годах, составляет:

$$t = \left(\frac{r+1}{2}\right)^{3/2} = N.$$

Здесь N – целое число. Выражая t через N, получаем:

$$r = 2N^{2/3} - 1.$$

Определим величину r для целых значений N:

Мы видим, что подобный полет не мог происходить к Марсу (диапазон расстояний r от 1.38 до 1.67 а.е.) и к Юпитеру (от 4.95 до 5.45 а.е.). А вот к Сатурну такая миссия возможна, так как он может располагаться в 9.48 а.е. от Солнца. Весь полет туда и обратно занял бы 12 лет.

Система оценивания (от одного члена жюри). В начале решения участники олимпиады должны указать (текстом и рисунком), что вся траектория аппарата во время миссии есть эллипс с точкой перигелия у орбиты Земли и точкой афелия у орбиты планеты. Этот вывод оценивается в 1 балл. Выражение для продолжительности миссии в годах оценивается еще в 3 балла. Решение уравнения и нахождение ближайшей возможной планеты оценивается в 4 балла. Этот анализ должен включать в себя внутренние планеты или содержать вывод, почему для них эта ситуация невозможна, в противном случае за третий этап выставляется не более 2 баллов. Если числа r(N) получены верно, но планета не определена правильно изза ошибок в вычислениях диапазонов расстояний (либо вообще не учтены эксцентриситеты), то оценка за 3 этап составляет не более 1 балла.

X/XI.3 НЕЙТРИННЫЙ ДЕТЕКТОР С.Г. Желтоухов

Сатурн