Пусть один атом галлия взаимодействует с нейтрино в том случае, если оно пролетает на расстоянии не больше r от центра атома. Другими словами, атом «перехватывает» нейтрино площадью $\sigma = \pi r^2$ , которая называется эффективным сечением взаимодействия. Если нейтрино за малое время $\Delta t$ пролетает со скоростью света c путь $\Delta l = c \Delta t$ , то малая вероятность его взаимодействия с атомом равна среднему числу атомов в трубке длиной $\Delta l$ и сечением $\sigma$ :

$$\Delta P = N \sigma \Delta l = N \sigma c \Delta t$$

Здесь N — концентрация атомов. Длина свободного пробега l — такое расстояние, на котором ожидаемое число встреченных атомов достигнет единицы:

$$l=1/N\sigma$$

Пусть на Землю летят солнечные нейтрино с плотностью потока F (количество нейтрино, пролетающее через площадку 1 м² за 1 сек, размерность м²сек²). Тогда объемная концентрация нейтрино будет равна

$$n = F / c$$

Обозначим объем галлиевого детектора как V. В любой момент времени количество нейтрино внутри детектора будет равно nV. Суммарный путь, пройденный всеми этими нейтрино за время T, составит

$$L = n \ V \ c \ T = F \ V \ T$$

Если за время T фиксируется только одно взаимодействие, значит, суммарный путь L равен длине свободного пробега l, которую нам и нужно найти. Объем детектора есть отношение его массы M к плотности r и составляет $10 \, \mathrm{m}^3$ (значение плотности нужно перевести в систему СИ), время T также известно. Остается найти плотность потока нейтрино F.

Самый простой способ сделать это следующий. Нам известно, что за один цикл протонпротонных реакций выделяется энергия

$$E = 2.68 \cdot 10^7$$ эВ = $(2.68 \cdot 10^7 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19})$ Дж = $4.29 \cdot 10^{-12}$ Дж.

При этом же выделяются два нейтрино. И нейтрино, и энергия Солнца распространяются от Солнца изотропно. В итоге, каждому нейтрино соответствует энергия E/2. Зная плотность потока энергии от Солнца на Земле (солнечную постоянную) $F_S$ , мы находим плотность потока нейтрино:

$$F = \frac{F_{\rm S}}{E/2} = 6.34 \cdot 10^{14} \,\mathrm{m}^{-2} \,\mathrm{c}^{-1}$$

В итоге, длина свободного пробега оказывается равной

$$L = F M T / \rho = 5.5 \cdot 10^{20} \text{ м} = 18 \text{ кпк}.$$

Получается, чтобы зафиксировать все солнечные нейтрино, нужен галлиевый детектор с такой же плотностью и размером порядка нашей Галактики! К счастью, для нейтрино высоких энергий вероятность их реакции с веществом сильно возрастает, что облегчает их регистрацию.

Система оценивания (от одного члена жюри). Решение задания разделяется на два основных этапа, которые могут выполняться в разной последовательности. Первый этап состоит в вычислении плотности потока нейтрино вблизи Земли. Она может быть определена как числом, так и математическим выражением, которое подставляется далее для получения окончательного ответа. Плотность потока можно вычислять через солнечную постоянную (как сделано выше), так и через величину полного количества нейтрино, выделяемого Солнцем в единицу времени. Весь этап оценивается в 4 балла. Если при решении делается ошибка в связи светимости и темпа испускания нейтрино (например, в 2 раза в процессе анализа протон-протонной реакции), то за этот этап выставляется только 2 балла, но оставшееся решение оценивается в полной мере. Более грубые ошибки (в частности, как результат неверного перевода единиц величин) могут быть основанием для снижения оценки за этап до 0 баллов.

Второй этап решения состоит в связи длины свободного пробега, плотности потока нейтрино и объема детектора. Эта связь может выводиться из разных принципов (в том числе, из принципа размерности). Корректный вывод этой связи оценивается в 3 балла. Наконец, 1 балл выставляется за формулировку ответа. Он ставится только при условии правильного численного значения длины свободного пробега.

X/XI.5 ОПАСНОЕ СБЛИЖЕНИЕ О.С. Угольников

$L = F M T / \rho = 5.5 \cdot 10^{20} \\text{ м} = 18 \\text{ кпк}$.