Информации, заданной в условии, недостаточно, чтобы в точности воссоздать картину всех явлений, которые произойдут при сближении скопления с черной дырой. Прежде всего, неизвестна скорость, с которой скопление пролетает мимо черной дыры. Если эта скорость невелика, то некоторые звезды скопления могут перейти на орбиту вокруг черной дыры. При большей скорости звезды могут просто покинуть скопление. При еще большей скорости действие поля тяжести черной дыры будет кратковременным, и потеря массы будет возможна только при небольших расстояниях между черной дырой и скоплением. Оценим из общих соображений максимальное расстояние, при котором какиелибо звезды скопления смогут покинуть его под действием черной дыры.

Рассмотрим звезды, расположенные на краю скопления. Они двигаются вокруг его центра либо по вытянутым орбитам, которые можно считать эллиптическими лишь в некотором приближении, либо по круговым орбитам. В первом случае они располагаются вблизи апоцентров своих орбит, и их скорости меньше, чем в случае кругового движения. Итак, максимальная скорость звезды на краю скопления равна ее круговой скорости:

$$v = \sqrt{\frac{Gm}{R}}.$$

Здесь m и R — масса и радиус скопления. Предположим теперь, что на расстоянии D от центра скопления в том же направлении, что и рассматриваемая звезда, располагается черная дыра с массой M. Результирующее ускорение от гравитационных сил, действующих на звезду, будет равно

$$g = \frac{Gm}{R^2} - \frac{GM}{(D-R)^2} = \frac{Gm'}{R^2}.$$

Здесь мы сравниваем его с действием некоторой эффективной массы m' в центре скопления, которая равна

$$m' = m - \frac{MR^2}{(D-R)^2}.$$

Очевидно, если сила притяжения черной дыры скомпенсирует силу притяжения скопления, и m обратится в ноль, звезда может покинуть скопление. Но если действие черной дыры

займет некоторое время, звезда может уйти из скопления и при положительной массе m. Для этого ее скорость должна превысить вторую космическую для этой массы:

$$v = \sqrt{\frac{Gm}{R}} \ge \sqrt{\frac{2Gm'}{R}}.$$

Отсюда мы получаем:

$$m' \le m/2; \quad \frac{R^2}{(D-R)^2} \ge \frac{m}{2M}; \quad D \le R \cdot \left(\sqrt{\frac{2M}{m}} + 1\right) = 5.5R = 110 \text{ nK}.$$

Легче всего покинуть скопление будет звездам, которые в момент сближения будут двигаться относительно центра скопления в ту же сторону, что и черная дыра. Численное моделирование движения звезды в поле двух центров тяжести для разных значений их относительных скоростей показывает, что полученная оценка близка к истине. Если скорость движения скопления относительно черной дыры не очень велика, то небольшое количество звезд могут покидать скопление при его приближении к черной дыре примерно на 5.0-5.5 радиусов скопления, в чем можно убедиться из графика. На втором рисунке показаны траектории скопления и покидающей его звезды при наибольшем расстоянии от черной дыры.

Другой способ понять, на каких расстояниях звезда может покинуть скопление – представить притяжение черной дыры как приливную силу. Будем считать, что звезда на краю скопления покинет его, если приливное ускорение (разность ускорений притяжения черной дыры на краю и в центре скопления) будет не меньше ускорения притяжения центра скопления:

$$\frac{GM}{(D-R)^2} - \frac{GM}{D^2} \ge \frac{Gm}{R^2}.$$

Если D существенно превосходит R, то это выражение упрощается:

$$\frac{2GMR}{D^3} \ge \frac{Gm}{R^2}.$$

Отсюда

$$D \le R \cdot \left(\frac{2M}{m}\right)^{1/3} = 2.7R.$$

Мы видим, что предположение R << D не вполне оправдано. Точный анализ уравнений выше дает ограничение $D \le 3.2R \sim 65$ пк. Близкие значения мы получим, если предположим, что для потери массы внешний край скопления должен попасть во внутреннюю точку Лагранжа системы «черная дыра — скопление». Тогда приближенный анализ дает

$$D \le R \cdot \left(\frac{3M}{m}\right)^{1/3} = 3.1R,$$

а точный численный расчет: $D \le 3.5R$ . Величина D оказалась примерно в полтора раза меньше, чем при вычислении первым методом и при численном анализе. Это связано с тем, что «приливной» метод не учитывает возможное движение звезд в скоплении и в большей степени относится к тем звездам, которые в момент сближения с черной дырой будут в апоцентре своих орбит и почти неподвижны относительно центра скопления. Так как в задаче требуется найти максимальное расстояние, при котором скопление начнет терять массу, первый метод является более правильным.

Система оценивания (от одного члена жюри). В задаче не существует единственно точного решения, оценка должна определяться обоснованностью метода, предложенного участником олимпиады, правильностью его математической реализации и адекватностью ответа. Максимальная оценка выставляется, если метод учитывает движение звезд в скоплении и приводит к ответу $D \le 5-6R$ . При этом он не должен базироваться на каком-то известном значении скорости скопления относительно черной дыры и не должен предполагать, что сила притяжения от черной дыры должна превысить силу притяжения от скопления.

При использовании приливного метода определения расстояния или аналогичного метода, не учитывающего движения звезд, максимальная оценка составляет 4 балла при условии правильного ответа ( $D \le 3R$ ). Если участник олимпиады при этом получает большие значения D как следствие ошибок при решении, оценка еще уменьшается в зависимости от характера ошибки. Использование упрощающей модели R << D в этом случае без проверки ее точности уменьшает оценку еще на 1 балл (максимум – 3 балла).

Если участник олимпиады напрямую сравнивает силы притяжения от скопления и черной дыры, получая в итоге ограничение $D \le 4.1R$ , максимальная оценка также составляет 4 балла.

В случае получения заведомо неверного ответа (максимальное расстояние D меньше 2R или больше 10R) оценка снижается вплоть до нуля вне зависимости от используемого метода.

Х.6 ДАЛЕКАЯ ЗЕМЛЯ