Разрешение спектрографа R есть отношение длины волны $\lambda$ , на которой ведутся наблюдения, к минимальной разнице длин волн спектральных линий $\Delta\lambda$ , которые можно зафиксировать по отдельности:

$$R = \lambda/\Delta\lambda$$

При таком разрешении у объекта можно измерить лучевую скорость, если она приводит к смещению спектральной линии на величину больше $\Delta\lambda$ , то есть:

$$\frac{V}{c} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \ge \frac{1}{R}.$$

Предположим, что вокруг звезды с массой M обращается планета со значительно меньшей массой m. Расстояние от планеты до звезды составляет D. Если считать орбиту круговой, то скорость движения планеты составит

$$v = \sqrt{\frac{GM}{D}}.$$

Звезда также будет двигаться относительно общего с планетой центра тяжести. Ее скорость V по направлению противоположна скорости v. Сам центр масс не вращается, поэтому MV = mv. Скорость звезды будет во столько же раз меньше скорости планеты, во сколько раз звезда массивнее планеты:

$$V = v \frac{m}{M} = \sqrt{\frac{Gm^2}{MD}}.$$

Чтобы зафиксировать эту скорость спектрографом, описанным в условии, эта скорость должна создавать эффект Доплера, описанный выше, то есть:

$$\sqrt{\frac{Gm^2}{MD}} \ge \frac{c}{R}.$$

В условии сказано, что планета по своим свойствам похожа на Землю, то есть, она должна получать от звезды столько же тепла, сколько Земля от Солнца. Это количество тепла пропорционально светимости звезды и обратно пропорционально расстоянию до нее. Обозначив массу и светимость Солнца через $M_0$ и $L_0$ , а расстояние Земли до Солнца – через $D_0$ , записываем это условие математически:

$$\frac{L}{D^2} = \frac{L_0}{D_0^2}.$$

С учетом соотношения «масса-светимость» получаем:

$$D = D_0 \sqrt{\frac{L}{L_0}} = D_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^2.$$

Подставим это в неравенство, полученное ранее:

$$\sqrt{\frac{Gm^2M_0^2}{M^3D_0}} \ge \frac{c}{R}.$$

Отсюда получаем

$$\left(\frac{M}{M_0}\right)^3 \le \frac{R^2 G m^2}{c^2 D_0 M_0} = \left(R \frac{m}{M_0} \cdot \frac{v_0}{c}\right)^2.$$

Здесь $v_0$ – орбитальная скорость Земли. Учитывая, что отношение ( $m/M_0$ ) составляет $3 \cdot 10^{-6}$ , а ( $v_0/c$ ) равно $10^{-4}$ , получаем, что планету с указанными свойствами можно будет открыть у звезд с массой не более 0.1 массы Солнца.

Система оценивания (от одного члена жюри). Решение задачи подразумевает использование четырех базовых факторов, первые три из которых могут идти в произвольном порядке:

• 1. Соотношение орбитальных скоростей планеты и звезды, вывод выражения для скорости звезды
• 2. Минимальная измеряемая скорость звезды, исходя из величины спектрального разрешения;
• 3. Соотношение между радиусом орбиты планеты и светимостью (и, следовательно, массой) звезлы:
• 4. Получение ограничения сверху на массу звезды (ответ должен быть сформулирован как неравенство либо должно быть указано, что найдена максимальная масса звезды).

Каждый из этапов равнозначен по своему вкладу в решение, и его выполнение оценивается в 2 балла. Однако, ошибка, сделанная на каком-либо этапе, может приводить к снижению оценки и за другие этапы, если в итоге получается заведомо неверный вывод в решении. Так, четвертый (финальный) этап не засчитывается полностью в каждом из следующих случаев:

• 1. Численный ответ не получен:
• 2. Ответ не выглядит (математически или в тексте) как ограничение на массу звезды сверху;
• 3. Пороговое значение массы не соответствует звездным массам (менее 0.05 массы Солнца);
• 4. Пороговое значение массы, наоборот, слишком велико и не соответствует красным карликам (более 1 массы Солнца).

Последний этап также не оценивается, если ответ (даже близкий к правильному) получается на основе неверных рассуждений и вычислений.

При решении участник олимпиады может спутать скорости звезды и планеты, что приведет к очень высокому верхнему пределу на массу звезд (без множителя $m/M_0$ в финальной

формуле и численному ответу около 500 масс Солнца). В этом случае ввиду заведомо неверного ответа общая оценка за решение не может превышать 2 баллов. Она не увеличивается и в том случае, если итоговая масса оказывается меньше вследствие математических ошибок при решении.

При решении задачи участник олимпиады может предполагать, что достаточно различить спектральную линию звезды при двух противоположных значениях ее скорости, что эквивалентно увеличению разрешения R в 2 раза и итоговой пороговой массы — в 1.6 раза. Эта ошибка считается несущественной и в случае правильных вычислений не влияет на оценку. Решение может производиться полностью в системных единицах без выражения масс в массах Солнца и радиусов орбит — в астрономических единицах. Данный подход более сложен для вычислений, но также правилен.