Нам известны характеристики звезд в системе и их орбиты. Но при этом неизвестная ориентация орбит в пространстве, поэтому будем считать ее случайной. Проще всего ориентацию задавать положением оси орбит, которая ориентирована случайно по полусфере.

Проще всего определить количество систем, которые будут открыты как оптические двойные. Вне зависимости от ориентации, в какой-то момент времени отрезок, который соединяет звезды, окажется в картинной плоскости. Его длина составляет 1 а.е., и под углом 0.1" такой отрезок виден с расстояния 10 пк. Каждая из звезд будет иметь с такого расстояния блеск около 5m, что более чем достаточно для наблюдений с астрографом. В итоге, разрешить можно будет все системы с концентрацией п внутри сферы с радиусом $r_{\rm O}$ =10 пк и центром в Солнце. Их количество составит

$$N_O = \frac{4}{3}\pi \cdot r_O^3 n \approx 4.$$

Затменные системы можно зарегистрировать фотометром. Его точность составляет 0.001m, и мы можем считать, что для регистрации достаточно лишь небольшого частного затмения – видимые диски звезд могут только коснуться друг друга. В этом случае угол между линией, соединяющей центры звезд, и направлением на наблюдателя равен

или 0.54° (видимый диаметр Солнца с расстояния 1 а.е.). Такие затмения могут наблюдаться, если ось вращения звезд ориентирована на сфере внутри тонкого кольца с угловой шириной 2 $\gamma$ , перпендикулярного направлению к наблюдателю. Вероятность наступления затмений при случайной ориентации оси есть отношение площади этого кольца к площади сферы:

$$P_E = \frac{2\pi \cdot 2\gamma}{4\pi} = \gamma.$$

Помимо этого, двойная система должна быть зафиксирована фотометром. Она состоит из двух звезд солнечного типа, и ее абсолютная звездная величина M равна $+4^{\rm m}$ . Определим расстояние, с которого она будет иметь видимую величину $15^{\rm m}$ :

lg $$r_E = 1 + \frac{m - M}{5}$$ ; $r_E = 1600 \text{ пк.}$

Число зафиксированных затменных переменных будет равно

$$N_E = \frac{4}{3} \pi \cdot r_E^3 n \cdot \gamma \approx 1.6 \cdot 10^5.$$

Чтобы определить число спектрально-двойных систем, найдем скорости звезд. Это можно сделать из III закона Кеплера, можно напрямую из закона всемирного тяготения, записав выражение для углового ускорения:

$$\frac{G\mu}{R^2} = \frac{v^2}{R/2}$$ ; $v = \sqrt{\frac{G\mu}{2R}} = 21 \text{ km/c}$ .

Здесь $\mu$ — масса Солнца. Относительная скорость звезд будет еще вдвое больше (42 км/с). Если луч зрения лежит в плоскости орбит, то эта скорость будет приводить к раздвоению спектральных линий на величину

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{2v}{c} = 1.4 \cdot 10^{-4}.$$

Этого вполне достаточно, чтобы зафиксировать эффект спектрографом с разрешением $S=10^5$ . Однако, в общем случае ситуация также зависит от расположения орбиты в пространстве. Если ось направлена к наблюдателю, то лучевых скоростей у звезд системы не будет вовсе. Но таких систем немного. Оси достаточно быть наклоненной к направлению к наблюдателю на угол

$$\varphi = \arcsin \frac{\lambda}{S \Lambda \lambda} = 4^{\circ}$$ ,

и у звезд системы появится лучевая скорость, достаточная для обнаружения. В итоге, область благоприятного расположения оси занимает практически всю сферу, что упрощает оценку числа систем:

Для определения числа спектрально двойных систем мы вычисляем расстояние, с которого они будут доступны спектрографу с предельной величиной m=12:

$$\lg r_S = 1 + \frac{m - M}{5}; \quad r_S = 400 \text{ пк.}$$

Число зафиксированных спектральных двойных будет равно

$$N_S = \frac{4}{3} \pi \cdot r_S^3 n \approx 2.7 \cdot 10^5.$$

Система оценивания (от одного члена жюри). Задание разбивается на три независимые части, связанные с оценкой наблюдаемых двойных систем разных типов. Наиболее простым является вычисление количества оптических двойных систем, которое оценивается в 2 балла. Они выставляются только при условии точных вычислений и правильного ответа. Если при его формулировке отдельно не оговаривается, что предельная звездная величина астрографа достаточна для фиксации этих двойных, оценка уменьшается до 1 балла.

Вычисление количества затменных переменных оценивается в 3 балла. Если в ходе решения участники олимпиады не учитывают геометрический фактор, и считают, что затменными будут все системы внутри сферы с найденным радиусом, весь этап решения не

засчитывается (0 баллов). При оценке угла γ участники олимпиады могут учитывать величину необходимой фазы затмения, строго говоря, отличной от нуля. При правильных вычислениях это не скажется на ответе, и оценка также составляет 3 балла, однако, в случае ошибок она снижается до 2 баллов. Если участник олимпиады правильно вычисляет угол γ, но неверно переводит его в вероятность обнаружения затменной системы, оценка за этап уменьшается до 1 балла. При неверном задании абсолютной звездной величины всей системы (4.7m вместо 4.0m) оценка за этап уменьшается на 1 балл.

Третий этап решения, связанный со спектральными двойными, также оценивается в 3 балла. Если при этом не оговаривается геометрическая ситуация и не вычисляется угол ϕ или не указывается его незначительность, оценка даже при правильном ответе уменьшается до 1 балла. Если участник вычисляет долю звезд, у которых лучевую скорость нельзя обнаружить, то это не сказывается на ответе и оценивается также 3 баллами при условии отсутствия ошибок в вычислениях. При неверном задании абсолютной звездной величины всей системы (4.7m вместо 4.0m) оценка за этап уменьшается на 1 балл.

$N_S = \frac{4}{3} \pi \cdot r_S^3 n \approx 2.7 \cdot 10^5.$