Нижняя кульминация обеих звезд происходит над северным горизонтом на разных высотах, следовательно, их склонение положительно и различно, у звезды 1 склонение больше. При этом верхняя кульминация происходит на одинаковой высоте. Это может быть в том случае, если более северная звезда 1 проходит верхнюю кульминацию к северу от зенита, а звезда 2 – к югу от зенита. Это значит, что склонение первой звезды δ1 больше широты места ϕ, а склонение второй звезды 2 δ2 меньше широты. Тогда условие задачи может быть переписано в математическом виде:

$$90^{\circ} + \phi - \delta_1 = 90^{\circ} - \phi + \delta_2;$$

-90° + \phi + \delta_1 = 2 (-90° + \phi + \delta_2).

При этом все три величины (ϕ, δ1, δ2) должны быть неотрицательными (формулы выше справедливы только в северном полушарии, южное полушарие мы рассмотрим отдельно) и не должны превосходить 90°. Помимо этого, высоты обоих светил в нижней кульминации должны быть больше нуля. Так как они связаны множителем 2, достаточно проверить

положительность любой одной из этих высот. Из второго уравнения получаем связь склонений звезд:

$$\delta_1 = -90^\circ + \varphi + 2\delta_2.$$

Подставляя его в первое уравнение, имеем:

$$180^{\circ} - 2\delta_2 = 90^{\circ} - \varphi + \delta_2;$$

$\delta_2 = (90^{\circ} + \varphi) / 3.$

Для любых положительных значений ϕ на интервале (0° .. 90°] величина δ2 также попадает в этот интервал. Проверим, на каких широтах нижняя кульминация будет происходить над горизонтом:

$$-90^{\circ} + \varphi + \delta_2 = -90^{\circ} + \varphi + (90^{\circ} + \varphi) / 3 = -60^{\circ} + 4\varphi / 3 \ge 0;$$

$\varphi \ge 45^{\circ}.$

Определим теперь склонение первой звезды:

$$\delta_1 = -90^{\circ} + \phi + 2(90^{\circ} + \phi)/3 = -30^{\circ} + 5\phi/3.$$

Эта величина будет неотрицательна на широтах ϕ ≥ 90°/5 = 18°. Она не будет превышать 90° на широтах ϕ ≤ 3·120°/5 = 72°. Высота звезды 1 в нижней кульминации, как и высота звезды 2, будет положительной на широтах ϕ > 45°. С учетом трех полученных ограничений, мы можем сделать вывод, что в северном полушарии такая ситуация может иметь место на широтах в интервале (45° .. 72°]. Аналогично, она может наступить в южном полушарии в интервале широт [–72° .. –45°).

1. Система оценивания. Так как задание оперирует с такой величиной, как высота светила в верхней и нижней кульминации, решение, вообще говоря, должно включать в себя рассмотрение разных случаев, соответствующих разным положением звезд на небесном меридиане относительно зенита в этот момент. В данном случае достаточно показать, что при рассмотрении северного полушария нижние кульминации обеих звезд происходят к северу от зенита, а верхние кульминации – по разные стороны от зенита. Этот вывод в текстовом или графическом исполнении оценивается в 1 балл.

Дальнейшее решение можно вести алгебраически, как изложено выше, либо на основе анализа рисунка с дальнейшим переходом к записи уравнений. При алгебраическом подходе правильное соотношение склонений обеих звезд и широты (их можно записывать как выражение склонения через широту, широты и одного склонения через другое склонение) оценивается в 2 балла. Еще по 1 баллу выставляется за корректный учет двух ограничений (высоты положительны; широта и склонения имеют одинаковый знак и не превосходят по модулю 90°), всего 2 балла. Запись итогового интервала широт оценивается в 1 балл при условии правильного выполнения предыдущих этапов. Включение или исключение границ в интервале на оценку не влияют. Наконец, учет случая южного полушария оценивается в 2 балла.

К примеру, если участник забывает о требовании положительной высоты светил в нижней кульминации, то при правильных вычислениях он получает интервал широт [18°..72°]. При таком решении ему не выставляется 1 балл за проверку одного из ограничений и 1 балл за правильную запись интервала. Оценка составляет 4 или 6 баллов в зависимости от указания случая южного полушария.

Участник олимпиады может добавить в качестве решения случай двух звезд в полюсах мира, наблюдаемых на экваторе. Тогда высоты обеих звезд в верхней и нижней

кульминациях будут равны нулю. Однако, этот случай, как и вариант двух совпадающих звезд с нижней кульминацией на горизонте, не удовлетворяет условию, так как сказано, что звезды разные. а их нижняя кульминация наступает над горизонтом. Учет этих вырожденных случаев уменьшает оценку на 1 балл.