Сначала обратим внимание, что Солнце имеет угловой радиус $\rho$ около 16′, а его изображение поднимается рефракцией на угол r около 35′. В итоге, время захода Солнца вблизи равноденствия увеличивается на величину

$$t_1 = \frac{r + \rho}{\cos \varphi}.$$

Эта величина составляет 4.64 минуты для широты 43° (Владивосток и Махачкала) и 6.08 минут для широты 56° (Красноярск и Москва). Таким образом, за счет угловых размеров Солнца и рефракции в двух более северных городах заход Солнца произойдет позже (а восход – раньше) на 1.44 минуты.

Рассмотрим теперь центр Солнца, не учитывая рефракцию. Момент его восхода или захода в том или ином пункте происходит не точно в равноденствие. Будем рассматривать момент восхода или захода Солнца, при котором его склонение равно δ, мало отличаясь от нуля.

По рисунку мы видим, что заход центра Солнца произойдет позже (а восход – раньше) на величину

$$t_2 = \delta \operatorname{tg} \varphi$$ .

Если склонение Солнца δ меньше нуля, то величина t2 отрицательна, и заход произойдет раньше (восход – позже). В этом случае долгота светового дня уменьшится в северных широтах. Однако, это не компенсирует эффект рефракции и углового размера Солнца, описанный выше. Действительно, даже за целые сутки до равноденствия Солнце отстоит от точки равноденствия на угол около 1°, и его склонение в день равноденствия

$$\delta > -\delta_D = -1^\circ \sin 23.4^\circ = -0.4^\circ.$$

Здесь δD - суточное изменение склонения Солнца вблизи весеннего равноденствия. Значение t2 превышает величину –t2D= –δD tgϕ = –1.49 минуты для широты 43° (Владивосток и Махачкала) и –2.37 минуты для широты 56° (Красноярск и Москва). Выигрыш южных городов составит не более 0.88 минуты, что не компенсирует эффект, описанный в начале решения. Суммарный эффект по заходу Солнца t1 + t2 в пользу северных городов будет не меньше 0.56 минуты.

Теперь нам нужно учесть, что величина δ будет разной для четырех городов. В восточной части России световой день наступает раньше, и склонение Солнца в это время там будет меньше. Владивосток располагается на 85° или 0.236 часть дуги восточнее Махачкалы, и склонение Солнца во время восхода (и захода) будет на 0.236 δD меньше. В результате, местное время захода Солнца во Владивостоке будет на 0.236 t2 = 0.35 минуты меньше, чем в Махачкале.

Проводя аналогичные рассуждения для Москвы и Красноярска, разделенных по долготе на 55° (0.153 дуги), получаем, что местное время захода Солнца в Москве будет больше на 0.36 минуты. Необходимо отметить, что долгота дня в Красноярске будет больше, чем в Махачкале, так как эффект от широты, описанный выше, больше по величине.

Итак, самым коротким световой день будет во Владивостоке (A), затем идет Махачкала (С), Красноярск (B) и Москва (D). В таблице приведены реальные значения долгот дня в этих городах 20 и 21 марта 2019 года. Момент равноденствия приходится на 01ч по московскому времени 21 марта. Видно, что полученный ответ справедлив для обеих дат, как до, так и после равноденствия.

1. Алгоритм оценивания. Общая оценка складывается из количества правильных пар в ответе участников. Всего возможных пар из четырех объектов шесть, в каждой из них объекты в ответе должны идти в правильном порядке. Например, для пары А-В правильным считается ответ, в котором буква В стоит позже буквы А (долгота дня в Красноярске больше, чем в Махачкале).

При появлении в решении двух или трех противоположных пар (например, ответ ABAB или ABAC с парами AB и BA) все эти пары, в том числе правильные, не оцениваются. При дублировании одной пары без противоположной (например, ответ AABB) эта пара оценивается только один раз. Итоговая оценка зависит от числа правильных пар N следующим образом:

IX/X/XI.2 ВЕЛИКОЕ СОЕДИНЕНИЕ О.С. Угольников