№ 11.4Задача 11.4
- 4. Условие. Два транснептуновых объекта находятся на расстоянии 50 и 100 а.е. от Солнца, а их альбедо равно 77% и 8% соответственно. Инфракрасный телескоп, работающий на орбите вокруг Земли в узкой спектральной полосе на длине волны 100 мкм, зафиксировал одинаковую яркость обоих тел. Определите разность их звездных величин с Земли в оптическом диапазоне. (Е.Н. Фадеев)
- 4. Решение. Расстояние до обоих тел существенно больше астрономической единицы, и их видимую яркость из окрестностей Земли можно считать такой же, как и из окрестностей Солнца. Поток энергии от Солнца на расстоянии R равен $L/4\pi R^2$ , где L светимость Солнца. Тело с радиусом r задерживает эту энергию с площади $\pi r^2$ и отражает ее часть, определяемую сферическим альбедо A. Остальная энергия идет на нагрев тела и в конечном итоге высвечивается в инфракрасной области спектра. Отсюда мы можем записать выражение для температуры далекого тела:
$$4\pi\sigma r^2 T^4 = \frac{L \cdot \pi r^2 (1-A)}{4\pi R^2};$$
$$T = \sqrt[4]{\frac{L(1-A)}{16\pi\sigma R^2}}.$$
Решение
Подставляя численные значения, мы получаем, что температура обоих тел одинакова и равна 27К. Это указывает на схожесть инфракрасных спектров транснептуновых тел. Если при этом их инфракрасный поток в какой-либо полосе одинаков, значит и полная яркость в собственного излучения в инфракрасном диапазоне у обоих тел также одинакова. С учетом малости расстояния между Солнцем и Землей по сравнению с радиусами орбит каждого из двух тел эта величина равна
$$J_{I} = \frac{L \cdot \pi r^{2} (1 - A)}{4\pi R^{2}} \cdot \frac{1}{4\pi R^{2}} = \frac{L \cdot r^{2} (1 - A)}{16\pi R^{4}}.$$
Таким образом, для тел 1 и 2 справедливо:
$$\frac{r_1^2(1-A_1)}{R_1^4} = \frac{r_2^2(1-A_2)}{R_2^4}.$$
Учитывая равенство отношений $(1-A)/R^2$ у этих астероидов, полученное свойство означает равенство их видимых диаметров (r/R). Это естественно для теплового излучения объектов с одинаковой яркостью и одинаковой температурой. Перейдем теперь к отраженному излучению в видимом диапазоне. Его поток равен
$$J_{\rm O} = \frac{L \cdot r^2 A}{16\pi R^4}.$$
Их отношение для двух тел с учетом полученных выше соотношений составит
$$\frac{J_{\text{O1}}}{J_{\text{O2}}} = \frac{r_1^2 A_1}{R_1^4} \cdot \frac{R_2^4}{r_2^2 A_2} = \frac{A_1}{R_1^2} \cdot \frac{R_2^2}{A_2} = \frac{A_1 (1 - A_2)}{A_2 (1 - A_1)}.$$
Соответствующая разность звездных величин есть
$$m_1 - m_2 = -2.5 \lg \frac{A_1(1 - A_2)}{A_2(1 - A_1)} = -4.$$
Знак "-" означает, что первое тело в видимых лучах выглядит ярче второго. Мы получаем, что равные по инфракрасной яркости транснептуновые тела очень сильно различаются по яркости в оптическом диапазоне.
4. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны установить, что температуры обоих тел и их полные инфракрасные яркости одинаковы. Этот вывод оценивается в 3 балла, соответственно, даже решение с правильным ответом без данного вывода не может быть оценено выше 5 баллов. Вычисление соотношения яркости двух тел в оптическом диапазоне (численно или в виде формулы) оценивается в 4 балла, применение формулы Погсона и запись ответа – в 1 балл.
Среди вероятных ошибок участников олимпиады может быть указание, что яркость астероида пропорциональна $A/R^4$ с последующим получением разницы звездных величин в $-5.5^{\rm m}$ . В этом случае за решение выставляется 2 балла, еще 3 балла ставятся в том случае, если перед этим был проведен анализ температур и инфракрасных яркостей астероидов.
Участники могут допустить еще одну ошибку и считать, что яркость астероидов пропорциональна $A/R^2$ , не учитывая разницу в их размерах. Хотя в этом случае получается ответ, численно равный правильному (компенсация ошибок, разница $-4^{\rm m}$ ), за него выставляется 1 балл и еще 3 балла, если перед этим был проведен анализ температур, не использовавшийся далее. Наконец, если участники не учитывают альбедо и предполагают, что яркость определяется только расстоянием до объекта, за решение они получают 1 балл в случае ее пропорциональности $1/R^4$ и 0 баллов в случае иного варианта. Опять же, 3 балла выставляются за правильный анализ температур и полных инфракрасных яркостей.
Ответ
-4.