Шаровое скопление состоит из N звезд со средней массой m, его суммарная масса равна M=Nm. Вокруг каждой из звезд на небе есть некоторая область, при попадании в которую звезды-источника произойдет его видимая вспышка за счет сильного микролинзирования. Определим угловой размер этой области.

Пусть r – пространственное расстояние между лучом и линзой, при котором может произойти вспышка. Угол, заданный в условии задачи (в реальности, это угол преломления света на этом расстоянии), составляет

$$\gamma = \frac{2r_G}{r} = \frac{4Gm}{c^2 r}.\tag{1}$$

Обозначим расстояние до скопления через L. По условию микролинзирования, угол между направлением на линзу и звезду должен сравняться с $\gamma$ , то есть

$$r = L\gamma = \frac{4GmL}{c^2r}; \quad r^2 = \frac{4GmL}{c^2}.$$

Обратим внимание, что для типичной звезды (возьмем к примеру Солнце) на типичном расстоянии до шарового скопления в 8 кпк величина r составляет порядка 10 а.е., что существенно больше радиуса Солнца и превышает радиус орбиты Земли. Даже если предположить, что звезда скопления маломассивна (например, с массой 0.1 массы Солнца), а скопление близкое (расстояние 3 кпк), величина r все равно составит около 2 а.е. Поэтому звезды скопления, за исключением немногочисленных гигантов, не экранируют лучи при линзировании. Диаметр видимого пятна на небе, в которое должен попасть источник, составляет

$$d = \frac{2r}{L} = \frac{4}{c} \sqrt{\frac{Gm}{L}}. (3)$$

За время своего пролета звезда преодолеет на небе угловой диаметр скопления D/L, где D – его пространственный диаметр. В условии задачи сказано, что скопление имеет однородную поверхностную яркость, то есть мы можем считать, что звезды распределены равномерно по видимой площади скопления. Тогда их концентрация на единицу видимой площади есть

$$n = \frac{4NL^2}{\pi D^2}. (4)$$

Чтобы произошло линзирование, звезда-линза должна оказаться на небе внутри прямоугольника с длиной (D/L) и шириной d, закрашенного серым цветом на рисунке. Так как звезда движется по небу вдоль эклиптики, а движением звезд скопления мы пренебрегаем, параллактическое смещение звезд и скопления за счет орбитального движения Земли не меняет картины. Число вспышек есть число звезд скопления, которые попадут в этот прямоугольник на небе — произведение поверхностной концентрации звезд на площадь прямоугольника:

$$N_L = \frac{nDd}{L} = \frac{4NdL}{\pi D} = \frac{16N}{\pi cD} \sqrt{GmL}.$$

Обратим внимание, что число $N_{\rm L}$ возрастает с расстоянием до скопления, то есть линзирование легче заметить на звездах более далеких скоплений. По условию задачи нам надо найти расстояние, при котором число $N_{\rm L}$ достигнет хотя бы единицы. Расстояние до скопления в этом случае

$$L \ge L_M = \frac{\pi^2 c^2 D^2}{256 Gm N^2} = \frac{\pi^2 c^2 D^2 m}{256 GM^2} \approx 8 \, \kappa n \kappa \cdot \left(\frac{m}{m_0}\right). \tag{6}$$

Здесь $m_0$ – масса Солнца. Интересно, что минимальное расстояние до скопления получилось порядка расстояния до центра Галактики и типичного расстояния до ее шаровых скоплений. К тому же, это расстояние умножается на фактор $(m/m_0)$ , и если учесть, что средняя масса звезд в шаровом скоплении существенно меньше массы Солнца (массивные звезды уже

проэволюционировали, а их остатки – белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры – участвуют в микролинзировании, но имеют меньшие массы), то условию задачи могут удовлетворять и более близкие скопления. Так, если предположить среднюю массу равной 0.3m0, мы получаем минимальное расстояние до скопления около 2.5 кпк, что практически совпадает с расстоянием до ближайшего шарового скопления в нашей Галактике, М4.

Нужно понимать, что пролет одной звезды за скоплением может занять сотни тысяч лет. Тем не менее, большое количество звезд фона и возможность одновременно следить за всем скоплением дает шансы на обнаружение событий микролинзирования. Как мы видим из решения, эти события могут быть еще более вероятными на многочисленных телах малых масс – коричневых карликах и даже планетах. Вероятность наблюдения еще возрастает при значительных собственных движениях звезд скопления, которые мы здесь не учитывали, а для близких скоплений эффект может дать и годичный параллакс, вызванный орбитальным движением Земли.

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

Этап 1 – 3 балла: определение минимального углового или пространственного расстояния между лучом звезды и линзой, при котором происходит вспышка микролинзирования. Так как в выражение для r входит искомое расстояние до линзы, то сделать это можно в виде формулы (формула (2)). Принципиально важно, что пространственное расстояние (r) пропорционально квадратному корню из массы линзы и расстояния до нее, а угловое расстояние (d/2) – квадратному корню из массы линзы, деленной на расстояние до нее. При качественно иных видах зависимости этап полностью не засчитывается. Если получена качественно верная зависимость с ошибочным коэффициентом – оценка за этап уменьшается на 1 балл, при ошибке в коэффициенте более 4 раз оценка уменьшается на 2 балла, без влияния на оценки на последующих этапах.

Участник может попытаться учесть само преломление лучей в поле линзы, которое увеличивает радиус r. Сделать это в точности можно, зная расстояние до звезды-источника. Это приводит к появлению дополнительного числового коэффициента в формуле (2). Если этот коэффициент составляет от 1 до 2 – оценка за этап и за все задание не изменяется. При иных коэффициентах оценка за этап уменьшается на 1 балл, а при коэффициенте менее 1/2 или более 4 – на 2 балла, без влияния на оценки на последующих этапах.

Аналогично, участник может предположить, что звезда-источник имеет значительные угловые размеры, и это увеличивает вероятность линзирования. При этом звезда находится дальше скопления, ее расстояние и размеры неизвестны. Как и в случае преломления, появление коэффициента от 1 до 2 не изменяет оценку, при больших отклонениях система оценивания аналогична предыдущему случаю.

Этап 2 – 5 баллов: связь вероятного числа событий линзирования с характеристиками скопления и расстояния до него. Как и в предыдущем этапе, принципиальным моментом является правильная зависимость этого числа от характеристик скопления (M или N, m, D, L). При ошибке в характере зависимости этап не засчитывается полностью, если же эта ошибка вызвана неправильным выполнением предыдущего этапа – этап оценивается не выше 2 баллов. При неверном численном коэффициенте оценка снижается на 1 балл, если это не стало следствием численных ошибок на предыдущем этапе. При ошибках в коэффициентах более 4 раз оценка снижается на 2 балла, более 16 раз – на 3 балла.

Участник может выполнять этап, оперируя угловыми характеристиками (видимый размер скопления, видимый путь звезды на небе) и пространственными, пересчитывая их на расстояние до скопления. Оба подхода эквивалентны и оцениваются одинаково.

Этап 3 — 2 балла: формулировка условия для расстояния до скопления. Этап засчитывается только в том случае, если сделан вывод о том, что условие задания выполняется для расстояний, больших или равных некоторому $L_{\rm M}$ , и его значение находится как минимальное. При отсутствии этого вывода оба балла не выставляются.

Участник может найти расстояние, исходя из какого-то определенного значения средней массы звезды m либо записать универсальное соотношение (6). В первом случае этап оценивается полностью, если значение m берется от 0.1 до 1 массы Солнца. Участник может предположить некоторое распределение звезд по массам, что значительно усложнит выкладки. Такие решения оцениваются полностью, если распределение масс применимо для шаровых скоплений, в расчетах не делаются математические ошибки, а итог соответствует соотношению (6) для массы m от 0.1 до 1 массы Солнца. Если в качестве распределения взята начальная функция масс звезд (функция Солпитера), то при правильных выкладках оценка уменьшается на 1 балл, так как такой подход неприменим к шаровым скоплениям.

Возможная ошибка участника при решении: предположение, что для наблюдения линзирования все зоны от отдельных звезд покрывают все скопление на небе. Фактически, это условие, при котором вспышки происходят у звезды практически постоянно. При правильных расчетах это приводит к минимальному значению расстояния $L_{\rm M}=D^2c^2/16GM=3\Gamma$ пк, вне зависимости от средней массы звезды. В этом случае первый этап решения оценивается полностью при условии его правильного выполнения, второй этап не оценивается, за третий этап выставляется максимум 1 балл.

$L_{\rm M}=D^2c^2/16GM=3\Gamma$ пк