По графику мы можем определить предельные значения лучевой скорости оптической звезды: $v_{+}=+130$ км/с, $v_{-}=-110$ км/с. Они не совпадают по модулю, следовательно, центр тяжести системы движется относительно наблюдателя со скоростью

$$u = (v_+ + v_-)/2 = 10 \text{ km/c}.$$

Так как луч зрения лежит в плоскости орбит звезд, орбитальная скорость оптической звезды есть

$$v_1 = v_+ - u = u - v_- = 120 \text{ km/c}.$$

Орбиты в системе круговые, период нам известен. Тогда мы можем определить радиус орбиты оптической звезды:

$$a_1 = \frac{v_1 T_0}{2\pi} = 0.017 \text{ a.e.}$$

В момент, показанный на рисунке, когда оптическая звезда оказывается ближе всего к наблюдателю, и ее лучевая скорость сравнивается с u и далее возрастает, рентгеновский источник, напротив, оказывается дальше всего, и сигнал от него приходит с максимальной задержкой. По графику мы видим, что график задержки — синусоида с амплитудой $\tau_0$ =9.5 секунд. Отсюда мы получаем радиус орбиты рентгеновского источника:

$$a_2 = c\tau_0 = 0.019 \text{ a.e.}$$

Выражая орбитальный период $T_0$ в годах (0.00424 года), мы получаем величину суммы масс звезд в массах Солнца из III закона Кеплера:

$$M = m_1 + m_2 = \frac{(a_1 + a_2)^3}{T^2} = 2.6.$$

Чтобы определить массы тел по отдельности, вспомним, что из определения центра масс $a_1m_1=a_2m_2$ . Тогда

$$m_{1,2} = M \frac{a_{2,1}}{a_1 + a_2} = \frac{a_{2,1}(a_1 + a_2)^2}{T^2}.$$

Масса оптической звезды получается равной 1.4 массы Солнца, масса рентгеновского источника -1.2 массы Солнца. В действительности, обе величины на 0.1 массы Солнца больше (мы не учитывали небольшой наклон орбиты к лучу зрения).

Теперь, зная массу белого карлика, мы можем найти его характерный радиус, пользуясь зависимостью, приведенной на графике. Оговоримся, что масса белого карлика близка к предельной, поэтому погрешности в ее определении могут существенно сказаться и на величине радиуса. Однако, радиус на графике задан в логарифмическом масштабе, и точности данных задачи в принципе достаточно для оценки его величины. При массе в 1.2 массы Солнца радиус белого карлика R составляет 4000 км.

Пусть $\omega$ — частота вращения белого карлика в текущий момент времени. Через какое-то время $\Delta t$ она станет равной $\omega + \Delta \omega$ . При этом период вращения P уменьшится и станет равным $P - \Delta P$ . Так как произведение частоты и периода есть постоянная величина $(2\pi)$ , то для малых изменений справедливо:

$$\frac{\omega + \Delta\omega}{\omega} = \frac{P}{P - \Delta P} = \frac{P + \Delta P}{P}.$$ (7)

Отсюда $\Delta \omega/\omega = \Delta P/P$ . Момент инерции белого карлика в начальный момент есть $I=km_2R^2$ . Величина k равна 0.4, хотя для решения данной задачи это не принципиально, важно лишь сохранение коэффициента k во времени. Через время $\Delta t$ радиус уменьшается на величину $\Delta R$ . По закону сохранения момента импульса

$$km_2(R - \Delta R)^2(\omega + \Delta \omega) \approx km_2R^2\omega - 2km_2R\Delta R\omega + km_2R^2\Delta\omega = km_2R^2\omega.$$ (8)

Отсюда

$$\Delta R = R \frac{\Delta \omega}{2\omega} = R \frac{\Delta P}{2P}.\tag{9}$$

За время $\Delta t$ период изменится на величину $\Delta P = P' \Delta t$ , где $P' - \delta$ езразмерное изменение периода, заданное в условии задачи. Теперь мы можем найти время $\Delta t$ , соответствующее заданному изменению радиуса $\Delta R$ :

$$\Delta t = \frac{\Delta P}{P'} = \frac{2P\Delta R}{P'R} \approx 3 \cdot 10^{12} \ c \sim 10^5 \ \text{nem}. \tag{10}$$

За время наблюдений (около 20 лет) радиус белого карлика уменьшился примерно на 20 см, тем не менее этот эффект был фактически замечен рентгеновскими телескопами!

Источники ланных:

• 1. Thackeray, A.D. The spectroscopic orbit of the O-type subdwarf HD 49798 // Monthly Notices of Royal Academy of Sciences, V.150, P.215-225, 1970.
• 2. Шкловский И.С. Звезды: их рождение, жизнь и смерть // М., Наука, 1985.
• 3. Mereghetti, S., Tiengo, A., Esposito, P., La Palombara, N., Israel, G.L., Stella, L. The discovery of a massive white dwarf in the peculiar binary system HD 49798/RX J0648.0–4418 // Science, V.325, P.1222, 2009.
• 4. Popov, S.B., Mereghetti, S., Blinnikov, S.I., Kuranov, A.G., Yungelson, L.R. A young contracting white dwarf in the peculiar binary HD49798/RX J0648.0–4418 // Monthly Notices of Royal Academy of Sciences, V.474, P.2750, 2018.

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап – 2 балла: определение радиуса орбиты оптической звезды. Требуемая точность – 0.002 а.е., при ошибке до 0.004 а.е. оценка уменьшается на 1 балл, далее – этап не засчитывается.

Вероятная ошибка при решении: опускание фактора скорости центра масс системы. Математически это может вызвать ошибку в орбитальной скорости порядка 10 км/с и в радиусе орбиты порядка 0.001 а.е., что допустимо. Поэтому оценка не снижается, если участник оговаривает, что скорость центра масс может существовать, но в данном случае мала. Если же эффект никак не рассматривается – оценка снижается на 1 балл без влияния на последующие этапы.

2 этап – 1 балл: определение радиуса орбиты рентгеновского источника. Требуемая точность – 0.001 а.е. В частности, участники могут считать величину τ0 равной 10 секундам, что приведет к радиусу 0.02 а.е., это не изменяет оценку.

Вероятная ошибка при решении: неверная интерпретация эффекта запаздывания. Этап не засчитывается, последующие оцениваются, если сделанная в настоящий момент ошибка не делает их абсурдными. В частности, этап не засчитывается, если на его результат какимлибо образом влияет сама величина периода рентгеновского источника (13.2 секунды).

Вероятная ошибка при выполнении 1-2 этапов: попытка учета осевого или орбитального движения Земли. В действительности, эти эффекты не могут вызывать периодичность в 1.55 дня. Осевое вращение Земли имеет период того же порядка, но дает поправку в скорости менее 0.5 км/с, а во времени запаздывания – 0.02 секунды, что существенно меньше погрешностей измерения этих величин. Орбитальное движение Земли на таких временных масштабах дает поправку только к скорости движения центра масс u, не влияя на величины v1, r1, r2. Если на том или ином этапе эти эффекты учитываются и вызывают отклонения, большие требуемой точности – соответствующий этап не засчитывается.

3 этап – 2 балла: определение суммарной массы системы. Может выполняться в общем виде без численного результата, при его записи требуемая точность (без учета ошибок на предыдущих этапах) составляет 10%, при ошибке до 30% оценка уменьшается на 1 балл.

Вероятная ошибка при выполнении 1-3 этапов: вычисление общей массы либо массы одного из тел по III закону Кеплера из периода и радиуса орбиты какого-либо одного тела. Если берется только оптическая звезда, то масса получится около 0.3 масс Солнца, если только рентгеновский источник – около 0.4 масс Солнца (фактически, получаются значения функций масс вместо самих масс). Если эти величины фигурируют как сами массы какоголибо тела либо их сумма, то из 1-2 этапов засчитывается только тот, где делались вычисления радиусов орбит, за третий этап выставляется максимум 1 балл (при корректных вычислениях). Последующий, четвертый этап засчитывается только в том случае, если полученная величина трактуется как сумма масс, и дальше идет корректное вычисление масс по отдельности.

4 этап – 2 балла: вычисление масс каждого из тел (по 1 баллу). Требуемая точность (без учета ошибок на предыдущих этапах) – 10%.

Вероятная ошибка участника: неверное задание условия центра масс с перестановкой индексов. В результате, в качестве массы оптической звезды будет найдена масса рентгеновского источника и наоборот. 1 балл за этап не выставляется.

5 этап – 3 балла: вычисление времени, за которое радиус белого карлика уменьшится на 1 км. Необходимо обратить внимание, что незначительная погрешность определения массы белого карлика будет существенно влиять на его радиус. Это не изменяет оценку за выполнение 5 этапа, если масса не превышает предел Чандрасекара (в противном случае – см. комментарий).

Основным моментом этапа является правильная связь интервала времени, радиуса и его изменения, а также величины изменения периода (общий вид формулы (10)). При качественно ином характере связи этап не засчитывается полностью, вне зависимости от результата. При ошибке в численных коэффициентах (например, опущен фактор 2) оценка уменьшается на 1 балл. Если участник получает использует соотношение ΔP/P=ΔR/R без обоснований через закон сохранения момента импульса, оценка уменьшается на 2 балла при отсутствии коэффициента 2 или неправильном коэффициенте и на 1 балл при правильном соотношении.

Комментарий: точности данных рисунка в принципе достаточно, чтобы получившаяся величина массы белого карлика при корректных вычислениях заведомо была меньше предела Чандрасекара. Тем не менее, участник в результате неточных вычислений может получить и большее значение. В этом случае 1-4 этапы засчитываются в соответствии с описанными выше критериями, без дополнительных штрафных санкций. Последующий, 5 этап в этом случае может быть засчитан 2 баллами, только если участник в явном виде оговаривает, что получил завышенное значение массы в результате неточности вычислений и принимает адекватное значение радиуса белого карлика (от 1000 до 6000 км). Без явного указания на факт неточности вычислений и физического несоответствия массы и природы компактной звезды 5 этап не засчитывается.

Автор заданий: О.С. Угольников,

за исключением: 9-3 (Мигающий глаз Медузы) – Е.Н. Фадеев