Изобразим Землю в плоскости, содержащей ее полюса, и перпендикулярной плоскости орбиты спутника.

Орбита спутника наклонена на некоторый угол i к плоскости экватора. Коль скоро в указанной в условии точке Земли O спутник не поднимается в зенит и не опускается в надир, эта точка находится на широте, по модулю большей, чем угол i. Положим для определенности, что эта точка располагается в северном полушарии, ее широта есть i+γ, причем этот угол должен быть меньше 90°. Отметим точки 1 и 2 – положения спутника, при котором он окажется на наибольшей и наименьшей высоте над горизонтом. Обратим внимание, что оба случая относятся к одному и тому же положению точки O в ходе ее суточного вращения, показанного пунктиром.

Обозначим как α1 (α2) углы между направлениями на спутник и центр Земли. Эти углы определяются высотами спутника над горизонтом:

$$\alpha_1 = 90^\circ + h_1 = 100^\circ;$$

$\alpha_2 = 90^\circ + h_2 = 10^\circ.$

Углы с вершинами в положениях спутника, образованные направлениями на наблюдателя и центр Земли, равны

$$\begin{split} \beta_1 &= 180^\circ - \alpha_1 - \gamma; \\ \beta_2 &= 180^\circ - \alpha_2 - (180^\circ - \gamma) = \gamma - \alpha_2. \end{split}$$

Обозначим радиус Земли как R, радиус орбиты спутника как L. Запишем выражение теоремы синусов в треугольниках «спутник — наблюдатель — центр Земли»:

$$\frac{L}{\sin \alpha_1} = \frac{R}{\sin \beta_1} = \frac{R}{\sin(\gamma + \alpha_1)};$$ $$\frac{L}{\sin \alpha_2} = \frac{R}{\sin \beta_2} = \frac{R}{\sin(\gamma - \alpha_2)}.$$

Отсюда мы получаем:

$$\frac{L}{R} = \frac{\sin \alpha_1}{\sin(\gamma + \alpha_1)} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin(\gamma - \alpha_2)}.$$

Используя свойства пропорции во втором равенстве, имеем:

$$\sin \alpha_1 \sin (\gamma - \alpha_2) = \sin \alpha_2 \sin (\gamma + \alpha_1);$$

$$\sin \alpha_1 (\sin \gamma \cos \alpha_2 - \cos \gamma \sin \alpha_2) = \sin \alpha_2 (\sin \gamma \cos \alpha_1 + \cos \gamma \sin \alpha_1).$$

$$\sin \gamma (\sin \alpha_1 \cos \alpha_2 - \sin \alpha_2 \cos \alpha_1) = 2 \cos \gamma \sin \alpha_1 \sin \alpha_2.$$

В итоге,

$$\gamma = \arctan \frac{2 \sin \alpha_1 \sin \alpha_2}{\sin(\alpha_1 - \alpha_2)} = 19^\circ.$$

Обратим внимание, что указанная в условии картина может иметь место при наклонении орбиты спутника не более 71°. Высота спутника над поверхностью Земли равна

$$H = L - R = R \cdot \left(\frac{\sin \alpha_1}{\sin(\alpha_1 + \gamma)} - 1\right) = 800 \text{ км.}$$

Система оценивания.

1 этап (3 балла). Правильное представление относительной конфигурации точки наблюдения и положения спутников. Для полного оценивания этапа достаточно текстового указания, что обе ситуации соответствуют одному и тому же положению наблюдателя на своем круге суточного вращения или рисунку, где будет отражен этот факт.

Вероятная ошибка участника: предположение, что случай наименьшей высоты спутника соответствует противоположному положению наблюдателя на суточном круге. В этом случае ответ оказывается функцией угла наклона орбиты спутника к экватору или широты места наблюдения, которые в условии не заданы. Таким образом, любое конкретное численное значение радиуса орбиты или высоты спутника, полученное в решении, является либо в корне неверным, либо соответствует какому-то одному значению наклона или широты, принятому участником по ходу решения. В первом случае все решение не может быть оценено выше, чем 1 баллом. Во втором случае за все решение может быть выставлено максимум 3 балла (0 баллов за первый этап и 50% баллов за оставшееся решение как за рассмотрение частного случая), если при этом не делается иных ошибок, и полученный ответ лействительно соответствует принятому допушению.

2 этап (5 баллов). Вычисление радиуса орбиты спутника либо угла γ. Ответ может быть записан численно или аналитически. Возможны разные способы выполнения этапа. В частности, можно пользоваться теоремой косинусов и получать выражения для расстояния спутника от наблюдателя, что приводит к более сложным выкладкам, но также обосновано. Допустимая погрешность вычисления угла γ составляет 0.5°, что соответствует погрешности радиуса орбиты (и итоговой высоты) около 50 км.

Возможное приближенное решение: участник указывает, что радиус орбиты спутника незначительно превосходит радиус Земли, так как максимальная высота спутника невелика. Тогда мы можем приближенно считать, что β2 = α2 = γ/2 = 10°, γ = 20°, и далее H = 870 км. Это приводит к погрешности вдвое больше допустимой, оценка за этап составляет 3 балла из 5, последний этап засчитывается наполовину (максимальная оценка за все решение – 7 баллов).

Возможное приближенное решение: графическое построение. При данном методе участник должен правильно указать взаимные конфигурации наблюдателя и спутника, соответствующие его максимальной и минимальной высоте, в частности, что они соответствуют одному и тому же положению наблюдателя на вращающейся Земле. Фактически – это выполнение первого этапа описанного выше решение, которое также оценивается в 3 балла при наличии всех обоснований. Далее участник может построить рисунок, аналогичный приведенному выше, где вместо отрезков O1 и O2 будут лучи, соответствующие заданным высотам спутника, а сами точки 1 и 2 однозначно выбираются на них из условия, что серединой отрезка 12 должен быть центр Земли. Этот подход считается приближенным выполнением этапа 2 и оценивается в 4 балла из 5 при верном выполнении. Последующий третий этап (определение высоты спутника) оценивается из критериев точности, описанных ниже.

Возможная ошибка при решении: участник забывает, что углы α1 и α2 отсчитываются в разные стороны от радиуса-вектора наблюдателя, и считает треугольник 1O2 прямоугольным. Это должно приводить к равенству радиусов орбиты спутника и Земли и нулевой высоте. Если подобный вывод делается, то за этап выставляется 1 балл, и еще 1 балл при наличии комментария о физической неосуществимости решения. Если же в этом случае получено какое-либо другое значение высоты спутника – этап не засчитывается. Во всех этих случаях также не засчитывается последний этап решения.

Этап 3 (2 балла) – вычисление высоты спутника. Оценивается в случае правильного ответа с допустимой погрешностью 50 км, при ошибке до 100 км выставляется 1 балл.

H = 870 км.