№ 9.4СПАСЕНИЕ ПЛАНЕТЫ
Условие. В фантастическом сериале «Доктор Кто» главный герой, чтобы спасти свою планету — Галлифрей, переместил ее в пространстве к другой звезде. Каковы должны быть параметры орбиты, чтобы диапазон температур за местный год оставался таким же? Какова будет продолжительность года в этом случае (в земных годах)? Параметры родной системы Галлифрея: масса звезды $M_1 = 2.5 \ M_0$ , радиус звезды $R_1 = 1.84 \ R_0$ , температура поверхности звезды $T_1 = 10700 \ \text{K}$ , большая полуось орбиты $a_1 = 5.4 \ \text{a.e.}$ , эксцентриситет $e_1 = 0.3$ . Параметры новой звезды: $M_2 = 0.5 \ M_0$ , $R_2 = 0.15 \ R_0$ , $T_2 = 3500 \ \text{K}$ . Индекс «0» относится к Солнцу. Считать, что альбедо и парниковые свойства атмосферы планеты не зависят от спектрального состава излучения звезды и не изменяются при перемещении планеты, масса планеты существенно меньше масс каждой из звезд.
Решение
Для того, чтобы тепловой режим на планете оставался неизменным, таким же должен оставаться поток энергии от звезды на расстоянии планеты L. Этот поток равен
$$F = \frac{J}{4\pi L^2} = \frac{4\pi\sigma R^2 T^4}{4\pi L^2} = \frac{\sigma R^2 T^4}{L^2}.$$
Расстояние до планеты L в ходе орбитального периода меняется от a (1-e) до a (1+e), и для сохранения диапазона температур эксцентриситет орбиты планеты e должен остаться тем же: $e_2 = e_1 = 0.3$ . Для сохранения средней температуры должен сохраняться средний поток, который определяется предыдущей формулой с подстановкой большой полуоси a в качестве расстояния L. Таким образом, мы имеем:
$$\frac{R_1^2 T_1^4}{a_1^2} = \frac{R_2^2 T_2^4}{a_2^2}; \quad a_2 = a_1 \frac{R_2 T_2^2}{R_1 T_1^2} = 0.047 \text{ a.e.}$$
Нам остается найти новую продолжительность года. Это можно сделать из III закона Кеплера, выражая большую полуось в астрономических единицах, массу – в массах Солнца:
$$t = \left(\frac{a^3}{M}\right)^{1/2} = 0.014$$ лет.
Этап 1 (1 балл): указание, что эксцентриситет орбиты планеты должен остаться без изменений и составить 0.3.
Этап 2 (5 баллов): определение большой полуоси новой орбиты планеты, точность 0.005 а.е. При проверке жюри необходимо обратить внимание на правильность учета температур и радиусов звезд, которые должны соотноситься с величиной большой полуоси в нужных степенях.
Этап 3 (4 балла): определение нового периода обращения планеты в годах, точность 0.003 года.
