Луна расположена существенно ближе к нам, чем Солнце, а отраженное изображение Солнца будет таким же по поверхностной яркости, как и сам диск Солнца. Но угловые размеры зеркала существенно меньше угловых размеров Солнца, поэтому пятно будет существенно слабее Солнца в небе Земли.

Рядом с Луной располагается Венера, находящаяся в этот момент в наибольшей элонгации от Солнца. Этот факт дает нам возможность определить угловое расстояние между Луной и Солнцем на небе:

$$\gamma = \arcsin(L_V/L) = 46^\circ$$

Здесь $L_{\rm V}$ и L — расстояния от Солнца до Венеры и Земли соответственно. Чтобы зеркало в таком положении могло отразить солнечный свет на Землю, его плоскость должна располагаться под углом $\beta = \gamma/2 = 23^{\circ}$ к линиям Земля-Луна и Луна-Солнце. Зеркало будет наблюдаться с Земли в виде эллипса. Его большая полуось равна

$$\rho = r / l$$ ,

где r — радиус зеркала, l — расстояние от Земли до Луны. Малая полуось эллипса будет равна $r \sin \beta$ . Угловой радиус Солнца есть

$$\rho_0 = R / L$$

где R — радиус Солнца. Соотношение видимых площадей зеркала и Солнца есть

$$\eta = \frac{\pi \rho^2 \sin \beta}{\pi \rho_0^2} = \frac{r^2 L^2 \sin \beta}{R^2 l^2}.$$

По условию задачи, зеркало светит как Венера со звездной величиной m=-4.4 (величина приведена в справочных данных). Видимая звездная величина Солнца есть $m_0=-26.8$ . Запишем формулу Погсона:

$$m = m_0 - 2.5 \lg \eta = m_0 - 5 \lg \frac{rL\sqrt{\sin \beta}}{Rl}.$$

Отсюда получаем диаметр зеркала:

$$d = 2r = \frac{2Rl}{L\sqrt{\sin\beta}} \cdot 10^{0.2(m_0 - m)} = 190 \text{ M}.$$

Система опенивания:

1 этап (1 балл): определение углового расстояния между Луной и Солнцем на небе на основе данных о находящейся рядом Венере.

Возможная ошибка участника: неправильное истолкование понятия наибольшей элонгации и запись выражения arctg $(L_V/L)=36^\circ$ или arccos $(L_V/L)=44^\circ$ . Этап не засчитывается, но последующие оцениваются полностью, в зависимости от их выполнения.

2 этап (2 балла): определение угла между плоскостью зеркала и направлением на наблюдателя. Засчитывается только при правильном определении (половина углового расстояния между Луной и Солнцем).

Возможная ошибка участника: первые два этапа вообще не выполняются, дальнейший анализ проводится исходя из нормального расположения зеркала по отношению к Солнцу и Земле. При отсутствии иных ошибок ответ в задаче около 120 метров. Первые два этапа не оцениваются, также на 1 балл снижается оценка за последний этап, максимальная оценка за решение составляет 6 баллов.

3 этап (4 балла): выражение для яркости отражения Солнца в зеркале. Проще всего его сделать через видимую площадь зеркала, хотя участники могут использовать и другие методы (например, записывать выражения для соответствующих потоков световой энергии, см. ниже). Величину углового радиуса или диаметра Солнца участники могут брать как известную, могут вычислять ее. Уменьшение расстояния до Луны за счет размеров Земли, если Луна находится вблизи зенита, изменяет ответ на 3 метра и не является обязательным для учета.

4 этап (3 балла): определение диаметра зеркала, точность 15 метров. При ошибке в 2 раза, вызванной путаницей понятий радиуса и диаметра, оценка уменьшается на 2 балла.

Альтернативный путь решения (3-4 этапы): расчет производится через энергетические величины. Участник может указать, что количество энергии, отражаемое зеркалом за секунду, есть $F_0 \cdot \pi r^2 \sin\beta$ , где $F_0$ – плотность энергии от Солнца на расстоянии Земли и Луны. Далее можно указать, что около Земли эта энергия будет распределена по кругу с радиусом $l\rho_0$ . Следовательно, плотность потока энергии от зеркала на Земле есть

$$F = F_0 \cdot \pi r^2 \sin\beta / \pi l^2 \rho_0^2 = F_0 \cdot r^2 \sin\beta / l^2 \rho_0^2 = F_0 \cdot r^2 L^2 \sin\beta / l^2 R^2,$$

что эквивалентно полученным выше соотношениям и соответствует выполненному второму этапу. Расчет звездных величин аналогичен, весь подход при правильном выполнении оценивается полностью.

Условие. В далеком будущем Солнце в ходе своей эволюции будет постепенно увеличивать свою светимость, а температура его поверхности будет уменьшаться. Для сохранения жизни на Земле цивилизация научилась медленно "отодвигать" Землю от Солнца так, чтобы тепловые условия на поверхности нашей планеты оставались постоянными. Вместе с Землей от Солнца отодвигаться будет и Луна, оставаясь на современном расстоянии от Земли (вековое удаление Луны от Земли цивилизация давно остановила, чтобы не удлинялись сутки). При какой эффективной температуре Солнца на Земле прекратятся полные теневые лунные затмения? любые теневые лунные затмения? Парниковые свойства атмосферы и альбедо Земли считать неизменными, орбиты Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли – круговыми. Преломление и рассеяние света Солнца в атмосфере Земли не учитывать.

Решение. Светимость звезды с радиусом R и температурой T есть

$$J = J_0 \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \left(\frac{T}{T_0}\right)^4,$$

где индекс <0> относится к характеристикам современного Солнца. Поток тепловой энергии на расстоянии L от Солнца будет равен

$$F = \frac{J}{4\pi L^2} = F_0 \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \left(\frac{T}{T_0}\right)^4 \left(\frac{L}{L_0}\right)^{-2}.$$

Здесь $L_0$ — современное расстояние от Земли до Солнца. Чтобы сохранить тепловой поток на постоянном уровне (F= $F_0$ ), необходимо выполнить условие:

$$\frac{L}{L_0} = \frac{R}{R_0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^2; \quad \rho = \frac{R}{L} = \frac{R_0}{L_0} \left(\frac{T_0}{T}\right)^2 = \rho_0 \left(\frac{T_0}{T}\right)^2.$$

Итак, отодвигать Землю от Солнца нужно таким образом, чтобы видимый радиус Солнца р возрастал обратно пропорционально квадрату температуры поверхности Солнца.

Полные лунные затмения прекратятся, когда радиус земной тени на расстоянии Луны сравняется с радиусом Луны $r_{\rm L}$ . Учитывая, что Солнце значительно дальше, нежели расстояние между Землей и Луной d, угловой радиус Солнца для этого должен быть

$$\rho_1 = \frac{r_E - r_L}{d} = 0.0121 \text{ рад} = 0.69^\circ.$$

Во втором случае тень должна лишь дотянуться до поверхности Луны. Соответствующий угловой радиус Солнца будет равен

$$\rho_2 = \frac{r_E}{d - r_I} = 0.0166 \text{ рад} = 0.95^{\circ}.$$

Учитывая, что в настоящее время эффективная температура Солнца составляет 5800 K, а его видимый радиус 0.00465 радиан, мы получаем выражения для эффективных температур в указанные эпохи:

$$T_{1,2} = T_0 \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_{1,2}}}.$$

Температуры получаются равными 3600 и 3100 К соответственно.

Этап 1 (2 балла): формирование условия на угловой радиус (диаметр) Солнца либо соотношения его радиуса и расстояния, при котором на Земле будут сохраняться тепловые условия. Данный этап выполняется в общем виде, и участник должен получить корректные соотношения углового радиуса и температуры Солнца.

Этап 2 (6 баллов, 3+3): получение значений либо выражений для углового радиуса (диаметра) Солнца либо расстояния до него для выполнения каждого из двух условий заданий. Участник может учитывать конечное расстояние до Солнца в схеме 1, хотя это не скажется на ответе и вообще не может быть в точности сделано, так как радиус Солнца в точности неизвестен. Учет радиуса Луны в знаменателе для второго случая не является обязательным. Требуемая точность – 5%.

Этап 3 (2 балла): определение температур, точность – 100 К.