№ 10.6 / 11.6СУДЬБА ЦЕФЕИД
Условие. Перед Вами две диаграммы:
[1] Диаграмма «период – светимость» для некоторых цефеид нашей Галактики, Большого и Малого Магеллановых облаков, Туманности Андромеды и NGC 6822. По осям отложены десятичный логарифм периода в сутках и средний по периоду десятичный логарифм светимости по отношению к Солнцу. Разные значки относятся к разным галактикам, что для решения данной задачи принципиального значения не имеет, свойства цефеид считаются одинаковыми во всех галактиках.
[2] Диаграмма «период – возраст» для цефеид тех же галактик, выборка отличается от [1], логарифмы десятичные.
Исходя из этих диаграмм, выведите связь между абсолютными болометрическими звездными величинами одной и той же звезды на стадии главной последовательности $(m_{\rm M})$ и цефеиды (средняя по периоду, $m_{\rm C}$ ). Получите ее в виде линейного соотношения
$$m_{\rm C} = A \cdot m_{\rm M} + B$$ ,
определив коэффициенты A и B. При анализе считать, что все звезды во всех указанных галактиках одиночные, при образовании имеют одинаковый химический состав, время жизни Солнца на главной последовательности равно 10 миллиардам лет. Светимость звезды на главной последовательности $L_{\rm M}$ считать постоянной во времени и пропорциональной $M^4$ (M — масса звезды), а все стадии эволюции звезд после главной последовательности — кратковременны.
Решение
Прежде всего, мы должны указать, что производить анализ и выводить соотношения мы можем только для таких характеристик звезд (их масс, светимостей), которые встречаются среди цефеид и для которых есть данные на обоих графиках.
Соотношения в обоих случаях близки к линейным. При этом, возраст цефеид определен ненадежно, что приводит к значительному разбросу экспериментальных данных. В общем случае, аппроксимация набора точек линейной зависимостью требует применения метода наименьших квадратов, приближенный подход может быть выполнен графически. Проведя прямые через точки графиков [1] и [2], мы получаем соотношения:
$$lg (L_C/L_0) = 3.61 + 1.10 (lg P - 1).$$
$lg T = 7.48 - 0.68 (lg P - 1).$
Обратим внимание, что в качестве параметра по оси абсцисс берется не $\lg P$ , а $(\lg P - 1)$ . Это делается, чтобы ноль данного параметра попал в середину интервала наблюдательных данных, что улучшает точность определения свободных параметров данной зависимости. Выражая одно уравнение через второе, связываем светимость цефеиды с ее возрастом:
$$\lg (L_{\rm C}/L_0) = 3.58 - 1.62 (\lg T - 7.5) = 15.73 - 1.62 \lg T.$$ (*)
Как известно, цефеиды представляют собой желтые сверхгиганты, уже не находящиеся на главной последовательности. С учетом того, что мы считаем поздние этапы эволюции звезд кратковременными, указанный возраст цефеиды – это примерно то время, что она провела на главной последовательности. По условию мы предполагаем, что светимость звезды на главной последовательности пропорциональна ее массе в четвертой степени, то есть
$$\lg (L_{\rm M}/L_0) = 4 \lg (M/M_0).$$
В этом случае время, которое звезда может провести на главной последовательности, есть
$$T = T_0 ((M/M_0)/(L_M/L_0));$$
$$\lg T = \lg T_0 + \lg (M/M_0) - \lg (L_M/L_0) = 10 - 0.75 \lg (L_M/L_0).$$
Подставляем это соотношение в формулу (*):
$$\lg (L_{\rm C}/L_0) = 1.2 \lg (L_{\rm M}/L_0) - 0.45.$$
Мы получили соотношение светимостей звезды на разных стадиях эволюции. Для их перевода в абсолютные звездные величины воспользуемся формулой Погсона:
$$\lg (L_{\text{M.C}}/L_0) = 0.4 (m_0 - m_{\text{M.C}})$$
Здесь $m_0$ – абсолютная болометрическая величина Солнца (+4.72). Имеем:
$$m_{\rm C} = 1.2 \ m_{\rm M} + 0.2.$$
Мы получили ответ на вопрос задачи. Для типичных цефеид с абсолютной звездной величиной $m_{\rm C}$ =-4.0 мы получаем, что на стадии главной последовательности их абсолютная звездная величина составляла $m_{\rm M}$ =-3.5, то есть в ходе своей эволюции эти звезды мало изменили свою светимость. Это типично для звезд-сверхгигантов, коими являются цефеиды, их эволюционные треки на диаграмме Герцшпрунга-Рассела близки к горизонтальным.
Источники данных:
- [1] Sandage, A., Tammann, G.A., 1968. A composite period-luminosity relation for cepheids at mean and maximum light // Astrophysical Journal, v.151, p.531.
- [2] Ефремов Ю.Н., 1978. Соотношение период–возраст для цефеид // Астрономический журнал, т. 55, стр. 272.
Система оценивания.
1-2 этапы (2+2 балла): анализ графиков, восстановление параметров линейной зависимости логарифма светимости и возраста цефеиды от логарифма периода. Участник может делать это численно (метод наименьших квадратов) или графически. Оценка определяется точностью восстановленных параметров, однако при этом жюри нужно принимать во внимание, что нуль логарифма периода выходит за диапазон наблюдательных данных. Если
участник находит параметры зависимости $\lg J$ и $\lg T$ от $\lg P$ , а не ( $\lg P - 1$ ), то погрешность свободного параметра может быть большей, и это не является основанием для снижения оценки.
Исходя из этого, необходимо оценивать точность не самих параметров линейной аппроксимации диаграмм [1-2], а величин светимости и возраста цефеид, получаемых из полученных участником зависимостей, для рабочего диапазона 1 p (от 0.5 до 1.5). Их точность на всем диапазоне не должна быть хуже 0.1 для диаграммы [1] и 0.2 для диаграммы [2]. В противном случае оценка за этап уменьшается с 2 до 1 балла, при двукратном превышении погрешности — до 0 баллов, но без влияния на последующие этапы.
- 3 этап (2 балла). Связь светимости цефеиды с ее возрастом на основе совмещения результатов обработки обоих графиков. Может выполняться в общем или численном виде. При проверке жюри должно учитывать, что экспериментальные зависимости могут быть получены с погрешностями, и они не влияют на оценку на данном конкретном этапе. Однако, сам пересчет, выполняемый здесь, не должен вносить дополнительных погрешностей более 0.05 по $\lg L$ и $\lg T$ .
- 4 этап (1 балл). Связь возраста цефеиды с ее светимостью на главной последовательности на основе соотношения «масса-светимость». Ввиду простого соотношения $L \sim M^4$ , предполагаемого в задании, и округленной величины времени жизни Солнца на главной последовательности ( $10^{10}$ лет) эта зависимость должна быть выражена без погрешностей: $\lg T = 10 0.75 \lg L/L_0$ , хотя форма ее подачи может отличаться от данной записи.
- 5 этап (1 балл). Связь светимостей звезды на стадии цефеиды и на стадии главной последовательности. Аналогично третьему этапу, эти вычисления не должны вносить дополнительной погрешности более 0.05 по логарифму светимости.
- 6 этап (2 балла). Применение формулы Погсона и восстановление связи абсолютных звездных величин на разных стадиях жизни звезды. Этап оценивается при выполнении двух условий: отсутствие дополнительных погрешностей более 0.10 по звездным величинам и физическая адекватность ответа. В частности, коэффициент при звездной величине $m_{\rm M}$ (коэффициент А в условии задачи) должен попадать в интервал от 1.0 до 1.4.
Погрешность свободного коэффициента сама по себе может быть высокой, так как абсолютные звездные величины цефеиды отличны от нуля. В результате, небольшая погрешность в коэффициенте А может сильно изменить свободный коэффициент В. Поэтому вместо самого коэффициента В нужно проверять значения абсолютной величины цефеиды $m_{\rm C}$ , соответствующие абсолютным звездным величинам на главной последовательности $m_{\rm M}$ в интервале от $-2^{\rm m}$ до $-5^{\rm m}$ . Они не должны отличаться от данных полученной выше формулы $(-2.2^{\rm m}$ и $-5.8^{\rm m}$ соответственно) не более, чем на $0.4^{\rm m}$ . В противном случае оценка за этап уменьшается на 1 балл, при двукратном превышении допустимой погрешности — на 2 балла.
