В условии задания сказано, что аппарат уже завершил торможение двигателем и спускается на парашюте. По графику мы видим, что скорость аппарата невелика (даже в начале интервала – несколько километров в минуту) и несопоставимо меньше космической. По ходу спуска скорость еще уменьшается. Поэтому мы можем решать задачу в равновесной модели – считать, что в любой момент времени сила сопротивления воздуха (ускорение a) уравновешивает силу притяжения аппарата (ускорение g) к планете. По мере снижения аппарата плотность атмосферы увеличивается, сила сопротивления воздуха растет, и равновесие достигается при меньшей скорости. В качестве подтверждения этой модели можно обратить внимание на то, что реальные величины итоговых ускорений аппарата (g – a) несравнимо меньше по величине, чем g, поэтому мы можем считать g = a. Кроме этого, мы можем считать ускорение свободного падения g постоянным.

В соответствии с условием задачи, ускорение силы сопротивления есть

$$a = K \cdot n \cdot v^2 = g = const.$$

Здесь n — концентрация молекул в воздухе, v — скорость снижения аппарата, K — некоторая постоянная. Это ускорение постоянно, так как оно уравновешивает ускорение свободного падения. Концентрация молекул меняется с высотой в соответствии с распределением Больцмана. Запишем выражение для скорости снижения аппарата:

$$v = -\frac{dh}{dt} = \sqrt{\frac{g}{K \cdot n}} = \sqrt{\frac{g}{K \cdot n_0}} \cdot e^{\frac{\mu gh}{2\Re T}}.$$

Здесь t – время, $n_0$ – концентрация молекул у поверхности. Мы можем прологарифмировать данное выражение:

$$ln\left(v_{\sqrt{\frac{K\cdot n_0}{g}}}\right) = \frac{\mu gh}{2\Re T}.$$

Множитель под корнем, умножаемый на скорость — постоянная величина. При логарифмировании он даст некоторое постоянное слагаемое к логарифму скорости (например, в метрах в секунду). В правой части уравнения мы видим высоту, умножаемую на постоянный фактор, в который входит температура. Таким образом, для решения задачи нам достаточно определить скорость снижения аппарата на некотором диапазоне высот h и построить зависимость $\ln v$ от h, которая должна оказаться линейной:

$$ln v = C \cdot h + const$$

Из коэффициента C мы сможем определить температуру.

Скорости определяются по линиям, касательным к кривой, приведенной в условии. Возьмем для примера пять высот от 5 до 25 км с шагом 5 км. Вычисляя натуральные логарифмы скоростей, строим их зависимость от высоты:

Зависимость действительно линейная, и ее коэффициент C равен

$$C = \frac{\mu \cdot g}{2\Re T} = 0.11 \, \kappa M^{-1} = 1.1 \cdot 10^{-4} \, M^{-1}.$$

Планета похожа на Землю, поэтому ускорение свободного падения g мы принимаем равным 9.8 м/с $^{-2}$ . Молярная масса молекулярного азота $\mu$ равна 0.028 кг/моль. Теперь мы можем определить температуру:

$$T = \frac{\mu \cdot g}{2\Re C} = 150 K.$$

При своей кажущейся простоте, подобный метод измерения температур не потерял актуальности и используется даже на Земле, точнее в ее мезосфере и нижней термосфере. Там не используется парашют, а в качестве пробного тела выступает легкая сфера с радиомаяком. Методика вошла в литературу под названием «метод падающей сферы» и считается одним из самых точных локальных способов измерения температуры в верхней атмосфере. Разумеется, равновесная модель при обработке результатов там не применяется.

Система оценивания.

1 этап — 2 балла. Указание, что решение можно вести в равновесной модели. Если это делается без обоснования — за этап выставляется 1 балл (дальнейшие этапы оцениваются в полной мере), если говорится о малых скоростях или ускорении, существенно меньшем ускорения свободного падения — этап засчитывается полностью.

Участник вправе не делать это предположение, а производить вычисления в общем виде. Это усложняет решение, но к нему предъявляются такие же требования по точности.

2 этап – 4 балла. Восстановление связи скорости движения аппарата и высоты с учетом распределения Больцмана. Участник может по-другому записывать постоянные множители в выражении для скорости, обязательным должен быть экспоненциальный множитель с правильным выражением. При отсутствии там коэффициента 2 (и – как следствие – итогового завышения температуры в 2 раза) за этап выставляется 1 балл, остальные оцениваются в полной мере. При отрицательном коэффициенте перед высотой в показателе экспоненты в выражении для скорости (не концентрации) этап не засчитывается.

3 этап – 4 балла. Восстановление данных о скорости аппарата на разных высотах. Для достижения нужной точности имеет смысл определить скорость хотя бы на трех – четырех высотах. При использовании только двух высот оценка уменьшается на 2 балла. При этом последующий этап оценивается, исходя из итоговой точности температуры.

4 этап — 5 баллов. Определение температуры атмосферы планеты, точность 10К. При превышении погрешности оценка уменьшается на 1 балл за каждые 10К дополнительной погрешности, при этом оценка за этап не может быть меньше нуля.

Комментарий: Участник может выполнять решение по-другому: при желании и владении соответствующим аппаратом, он может получить прямую связь времени и высоты, исходя из свойств сопротивления воздуха и предположения о равновесии:

$$\frac{\mu \cdot g^{3/2}(t - t_0)}{2\Re T \sqrt{Kn_0}} = e^{-\frac{\mu gh}{2\Re T}} - e^{-\frac{\mu gh_0}{2\Re T}}.$$

Здесь $t_0$ — некоторое начальное время, $h_0$ — высота в этот момент. Это соотношение в принципе позволит ему не определять из графика скорости в конкретных точках, а работать прямо с диаграммой «время — высота». При условии правильного выполнения это оценивается полностью.