$$T_0 = a_0^{3/2} = \left(\frac{3q_0}{4}\right)^{3/2} = q_0^{3/2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = T_J \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} \approx T_J \cdot 0.65.$$

Отношение периодов обращения астероидов ( $T_0$ ) и Юпитера ( $T_J$ ) оказывается иррациональным числом. Мы же наблюдаем резонанс, при котором положения афелиев астероидов концентрируются к трем равноудаленным положениям вблизи орбиты Юпитера. Это может быть, если период обращения астероидов есть n/3 периодов обращения Юпитера, где n — целое число. Зная примерный период астероидов $T_0$ , мы делаем вывод, что n = 2. Тогда мы находим точную большую полуось орбит астероидов:

$$a = \left(\frac{2T_J}{3}\right)^{2/3} = T_J^{2/3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2/3} = q_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2/3} = 3.97 \ a.e.$$

Можно провести рассуждения и в обратном порядке: из условия резонанса мы знаем, что период обращения астероидов T есть $T_J \cdot n/3$ , отсюда мы находим большую полуось их орбиты:

$$a = \left(\frac{nT_J}{3}\right)^{2/3} = T_J^{2/3} \cdot \left(\frac{n}{3}\right)^{2/3} = q_0 \cdot \left(\frac{n}{3}\right)^{2/3}.$$

Зная эксцентриситет, мы находим афелийное расстояние астероидов:

$$q = a(1+e) = \frac{4a}{3} = \frac{4q_0}{3^{5/3}} n^{2/3} \approx 0.641 q_0 n^{2/3}.$$

При этом мы знаем, что величина q должна быть близка к $q_0$ , что приводит нас к n=2 и a=3.97 а.е..

Этап 1 — 4 балла. Определение эксцентриситета орбиты. Так как по условию задачи треугольник считается правильным, а его толщина не учитывается, то эксцентриситет должен оказаться равным 1/3.

Этап 2 – 4 балла. Определение периода обращения астероидов, которое должно быть равно в точности 2/3 от орбитального периода Юпитера.

Этап 3 – 2 балла. Определение большой полуоси орбиты астероидов, точность 1%.

Возможное неточное решение: предположение, что афелий орбит астероидов лежит точно на орбите Юпитера, что дает значение большой полуоси 3.90 а.е., что выходит за рамки требуемой точности. В этом случае за 2 и 3 этапы вместе выставляется не более 2 баллов, суммарная оценка — не более 6 баллов.

Условие. В ходе астрометрической миссии будущего (через 200 с небольшим лет) координаты центра сверхмассивной черной дыры (СМЧД) в центре нашей Галактики одновременно измеряются инфракрасными телескопами с околоземной орбиты и с поверхности Плутона (его координаты в небе Земли в этот момент $\alpha = 18$ ч, $\delta = -17$ °, гелиоцентрическое расстояние 32 а.е.). Обоими телескопами было сделано по одному измерению с точностью до 1 наносекунды дуги ( $10^{-9}$ "). С какой точностью можно определить расстояние до центра СМЧД в центре Галактики на основе этих измерений?

Решение. Гелиоцентрическое расстояние Плутона существенно больше гелиоцентрического расстояния Земли. Мы будем из естественных соображений предполагать, что измерения производились вблизи противостояния Плутона и находящегося на небе неподалеку центра галактики, и тогда расстояние между точками измерений составляет 31 а.е. При этом, ответ на задачу существенно не изменится, если мы будем считать его равным средней величине (32 а.е.).

Фактор, который нужно принять во внимание — относительное расположение Плутона и центра Галактики в небе Земли во время эксперимента. Они находятся неподалеку друг от друга. Если знать точные координаты источника Стрелец А, связанного с СМЧД (17ч45м, $-29^{\circ}$ ), то угловое расстояние между ними $\gamma$ получается равным $13^{\circ}$ , оно практически не изменяется, если мы учтем прецессионное смещение за 200 лет ( $12^{\circ}$ ).

Угол, под которым из центра Галактики будет видна линия «Земля – Плутон», равен

$$\pi = \frac{d \sin \gamma}{l}.$$

Этот параллактический угол есть разница координат СМЧД, измеренных с Земли и Плутона. Это соотношение есть основа для определения расстояния до источника Sgr A*. Пусть теперь в результате измерений угол $\pi$ был измерен с ошибкой $\Delta\pi$ . Тогда итоговое расстояние будет измерено с ошибкой $\Delta l$ :

$$l + \Delta l = \frac{d \sin \gamma}{\pi + \Delta \pi} = \frac{d \sin \gamma}{\pi (1 + \Delta \pi / \pi)} \approx \frac{d \sin \gamma}{\pi} (1 - \Delta \pi / \pi).$$

Отсюда мы получаем выражение для модуля погрешности измерения расстояния:

$$|\Delta l| = \frac{d \sin \gamma |\Delta \pi|}{\pi^2} = \frac{l^2 |\Delta \pi|}{d \sin \gamma}.$$

По условию задачи, обе обсерватории имеют ошибку измерений координат 10–9 или 5·10–15 радиан. Поэтому результирующую ошибку правильней считать большей в 2 раза (хотя для оценки можно считать ее такой же или в 2 раза большей). Расстояние l есть 8.5 кпк или 1.8·109 а.е. В итоге, мы получаем оценку погрешности расстояния l ~ 2000 а.е.

Этап 1 – 4 балла. Учет фактора расположения линии «Земля – Плутон» во время измерений. Координаты центра Галактики в условии задачи в явном виде не заданы, поэтому от участников не предполагается высокой точности, необходим прежде всего сам учет. Участники могут предположить, что центр Галактики совпадает по положению с точкой зимнего солнцестояния, что даст угол 6.5 – вдвое меньше истинного и в итоге вдвое большую оценку погрешности определения расстояния. Подобное отклонение допустимо и оценивается полностью. При ошибке угла более 2 раз оценка снижается на 1 балл, более 3 раз – на 2 балла, более 4 раз – на 3 балла.

Если участник опускает данный фактор вообще – этап не засчитывается полностью. Остальные этапы при условии правильных вычислений (погрешность расстояния около 500 а.е.) оцениваются в полной мере.

Этап 2 – 2 балла. Соотношение между расстоянием до источника, параллактическим углом и расстоянием между Землей и Плутоном.

Этап 3 – 2 балла. Связь между погрешностью определения параллактического угла и погрешностью расстояния. Может выводиться с помощью формул для малых параметров, как сделано выше, или геометрически. Погрешность определения параллактического угла может быть принята равной 1, 2 и 2 погрешностям одного измерения с одной обсерватории, все эти варианты считаются верными.

Этап 4 – 2 балла. Значение погрешности определения расстояния. Расстояние до центра Галактики может быть принято равным от 8 до 9 кпк. Точность (без учета ошибок, описанных выше) – 10%. При ошибках до 20% оценка снижается на 1 балл.