где $v_R$ — лучевая и $v_T$ — трансверсальная скорость звезды. Определим $v_T$ с использованием известной формулы:

$$v_T(\kappa_M/c) = 4.74 \cdot \frac{\mu(''/20\partial)}{\pi('')} = 4.74 \cdot \frac{\sqrt{\mu_\alpha^2 + \mu_\delta^2}(''/20\partial)}{\pi('')} = 3.92 \ \kappa_M/c.$$

В итоге, мы получаем полную пространственную скорость звезды относительно Солнца: v = 82.5 км/c, она практически не отличается от лучевой.

Пусть $r_0$ — минимальное расстояние между звездой и Солнцем, $\theta$ — угол между направлениями на ближайшее и текущее положение звезды. Тогда:

$$\cos \theta = \frac{r_0}{r} = \frac{v_T}{v} = 0.0475.$$

Отсюда мы получаем выражение для минимального расстояния $r_0$ :

$$r_0 = r \frac{v_T}{v} = \frac{1}{\pi('')} \frac{v_T}{v} = 0.323 \, n\kappa,$$

а также звездной величины в этот момент:

$$m_0 = m - 5lg \frac{r_0}{r} = m - 5lg \frac{v_T}{v} = 11.7.$$

Лучевая скорость звезды тогда была равна нулю, а собственное движение

$$\mu_0 = \frac{v(\kappa M/c)}{4.74 \cdot r_0(n\kappa)} = \frac{\mu}{\cos^2 \theta} = 53.9''/200,$$

что в 5 раз превышает современное собственное движение звезды Барнарда. Определим время, прошедшее с этого момента:

$$t = \frac{r \sin \theta}{v} = \frac{r \cdot v_R}{v^2} = 2.54 \cdot 10^{12} \ c = 8.05 \cdot 10^4 \ \text{лет}.$$

Предположим, что в момент наибольшего сближения с Солнцем звезда вызвала возмущение в облаке Оорта, в результате которого значительное число кометных ядер направились к Солнцу. Их движение можно представить себе как орбитальное с близким перигелием и афелием на расстоянии $r_0$ (0.323 пк или 66600 а.е.). Тогда большая полуось их орбит составит $r_0/2$ , а время достижения перигелия – половина орбитального периода:

$$T = \frac{1}{2} \left(\frac{r_0}{2}\right)^{3/2} = 3.04 \cdot 10^6 \text{ nem}.$$

Можно учесть, что уже прошло время t с этого момента, хотя оно существенно меньше, и его учет необязателен. Тогда время, оставшееся до прилета комет к Солнцу, составит

$$T - t = 2.96 \cdot 10^6$$ лет.

Система оценивания

Этап 1 — 1 балл. Выражение или численное значение для трансверсальной скорости звезды в текущий момент. Выставляется только при правильном выражении для полного собственного движения (теорема Пифагора без фактора соз $\delta$ в собственном движении по $\alpha$ ). При неверных формулах или численной ошибке более 10% этот балл не выставляется.

Этап 2 – 2 балла. Определение минимального расстояния между Солнцем и звездой. Может быть вычислено через полную скорость звезды или через косинус угла $\theta$ . Требуемая

точность – 10% без учета ошибок на других этапах (при ошибке до 20% оценка уменьшается на 1 балл).

Этап 3 – 1 балл. Определение звездной величины звезды в этот момент, точность 0.1m без учета ошибок на других этапах.

Этап 4 – 2 балла. Определение времени, прошедшего с момента сближения звезды с Солнцем, точность 10% без учета ошибок на других этапах, при ошибке до 20% оценка снижается на 1 балл.

Этап 5 – 2 балла. Определение лучевой скорости (нулевая, 1 балл) и собственного движения звезды в тот момент времени (1 балл, точность 10%).

Этап 6 – 2 балла. Нахождение времени до вероятного прилета кометных ядер, точность 10%. Если участник олимпиады записывает в качестве этого времени полупериод узкой эллиптической орбиты и не делает никаких комментариев по поводу уже прошедшего с момента пролета времени – за этап выставляется 1 балл. Если при этом указывается, что время, прошедшее с пролета звезды и возмущения облака Оорта значительно меньше или это время вычитается – выставляются 2 балла при условии верного ответа.

$T - t = 2.96 \cdot 10^6$ лет.