$\frac{a_0^2}{t_0} = \frac{a^2}{t}.$

Возводя второе уравнение в квадрат и деля его на первое уравнение, получаем $a_0M_0 = aM$ . Таким образом, если новая масса Солнца составляет $(1-0.332)\ M_0 = 0.668\ M_0$ , то радиусы орбит всех тел (кроме тех, что будут поглощены Солнцем) увеличатся в 1.497 раз. Новый радиус Солнца составит 256 его нынешних радиусов, что есть 179.2 млн км или 1.20 а.е. Солнце поглотит тела, находящиеся на меньших расстояниях, то есть те, которые сейчас удалены от него менее, чем на 1.20/1.497 = 0.80 а.е. Это Меркурий и Венера.

Чтобы ответить на другие вопросы, запишем уравнение теплового баланса для тела на расстоянии a от Солнца:

$$\frac{J \cdot (1-A) \cdot \pi r^2}{4\pi a^2} = 4\pi \sigma r^2 T^4; \quad T^4 = \frac{J \cdot (1-A)}{16\pi \sigma a^2} = \frac{J \cdot (1-A)}{16\pi \sigma a_0^2} \left(\frac{M}{M_0}\right)^2.$$

Здесь J – светимость Солнца на стадии красного гиганта ( $1.06\cdot 10^{30}$ Вт), A – альбедо тела. Так как Меркурий и Венера окажутся поглощенными Солнцем, самой горячей планетой окажется Земля. Марс хоть и имеет меньшее альбедо, но будет холодней. Она будет располагаться на расстоянии a=1.497 а.е. от Солнца, и ее средняя температура составит

1470 К. Конечно, предположение о сохранении физических свойств Земли выглядит неразумным, тем не менее — это вполне адекватная оценка температуры Земли в этих условиях. Потеря атмосферы и воды уменьшит альбедо нашей планеты и усилит ее нагрев, но исчезнет и парниковый эффект.

Рассмотрим теперь вопрос о «зоне жизни». Если мы знаем среднюю температуру тела, то соответствующее расстояние от Солнца в виде красного гиганта есть

$$a = \frac{1}{4T^2} \sqrt{\frac{J \cdot (1-A)}{\pi \sigma}}; \quad a_0 = a \frac{M}{M_0}.$$

Рассчитаем границы «зон жизни» для светлых и темных тел с характерными альбедо 0.6 и 0.2 соответственно:

Мы можем не фиксировать определенные значения альбедо, а получить общую формулу для внутренней и внешней границы «зоны жизни»:

$$a_1 = 45.3 \ a.e.\sqrt{1-A};$$ $a_{01} = 30.2 \ a.e.\sqrt{1-A};$ $a_2 = 65.2 \ a.e.\sqrt{1-A};$ $a_{02} = 43.6 \ a.e.\sqrt{1-A}.$

Мы видим, что для самых светлых тел зона жизни затрагивает орбиту Сатурна, для светлых тел зона жизни оказывается между орбитами Урана и Нептуна, для темных тел она включает орбиты Нептуна и Плутона. Из больших тел, включенных в справочные данные, критериям «зоны жизни» отвечает только сам Нептун с альбедо 0.4 и — на теплой границе зоны — спутник Сатурна Тефия с альбедо 0.9. В качестве других тел, которые могут попасть в «зону жизни» можно, но не обязательно, указать Харон (спутник Плутона с более низким альбедо) и ряд других транснептуновых тел.

Этап 1 – 3 балла. Вычисление фактора увеличения радиусов орбит тел Солнечной системы. Этап засчитывается только при правильном соотношении $a \sim M^{-1}$ , при другом характере зависимости эти 3 балла не выставляются, последующие этапы оцениваются, исходя из правильности их выполнения. При использовании этой зависимости без вывода за этап выставляется 1 балл.

Этап 2-2 балла. Указание небесных тел, которые будут поглощены Солнцем, при этом должны быть рассмотрены все тела, описанные в справочных данных. Если указаны все тела (при правильном выполнении этапа 1- Меркурий и Венера) и не указаны лишние – выставляются 2 балла, если указана только их часть - 1 балл. Если указаны какие-либо лишние тела (например, Земля) — оценка уменьшается на 1 балл за каждое лишнее указание, при этом оценка за этап не может быть меньше нуля.

Примечание. В случае неверного выполнения первого этапа список тел, которые должны быть указаны, может измениться. Например, при предположении постоянства орбит небесных тел в список поглощенных тел должны быть добавлены Земля и Луна, а ответ «Меркурий и Венера» при этом оценивается только 1 баллом.

Этап 3 – 2 балла. Правильное соотношение для средней температуры поверхности небесного тела с учетом его альбедо (либо – правильное выражение для границ «зоны жизни» в зависимости от альбедо). Если участник не учитывает альбедо – этап полностью не засчитывается вне зависимости от результатов следующих этапов (он оцениваются).

Этап 4 – 1 балл. Определение средней температуры самой горячей планеты – Земли, точность 200 K. Участник может указать, что горячая Земля растеряет атмосферу, что скажется на ее альбедо. Это не соответствует условию задачи, в котором указано на постоянство свойств планеты. Тем не менее, даже предположение о нулевом альбедо увеличит температуру Земли до 1650 K, что не выходит за рамки требуемой точности, поэтому этап может быть засчитан. Этап может быть зачтен, если участник по невнимательности найдет температуру Луны вместо Земли (около 1600 K), если он сделает это без ошибок.

Примечание. Если в результате неверного выполнения первого этапа самой горячей планетой оказывается не Земля, этап также оценивается, и в этом случае требуется точный анализ для той планеты, которая будет самой горячей в решении участника.

Этап 4 – 2 балла. Указание небесных тел, которые окажутся в «зоне жизни». Необходимо рассмотрение всех тел, указанных в справочных данных, при этом участник может рассматривать и другие небесные тела (например, другие спутники планет). Указание Нептуна и Тефии оценивается по 1 баллу, при этом участник может сказать, что рассмотрение возможности жизни на газовом гиганте не имеет смысла (это не меняет оценку). Участник может также указать, что Тефия расположена на грани или чуть за гранью зоны жизни, что также считается правильным.

При неверном выполнении предыдущих этапов список тел может меняться. При неверном указании тел, входящих в справочные данные, оценка уменьшается на 1 балл за каждое тело, но при этом она не может быть меньше нуля. Рассмотрение тел, не входящих в справочные данные, не изменяет оценку, только если в ответ не попали заведомо не подходящие для «зоны жизни» тела (на орбите Юпитера или еще ближе к Солнцу).

Примечание. Расчет температурных условий для двух характерных значений альбедо (0.2, 0.4, 0.6, 0.9 или каких-то иных) не является обязательным, это лишь один из возможных способов сократить объем вычислений. Участники вправе использовать другие подходы.