Судя по описанию ситуации, Венера и Земля находились на марсианском небе недалеко от Солнца. Обе планеты для Марса являются внутренними, и для какого-либо фиксированного углового расстояния от Солнца возможны два положения планеты на орбите. Если это угловое расстояние маленькое — то планета находится либо вблизи верхнего, либо вблизи нижнего соединения. Рассмотрим сначала самый простой случай — обе планеты располагаются вблизи верхнего соединения с Солнцем, позади него в пространстве. Тогда их фазы близки к полным, а расстояния от Марса — примерно равным сумме радиусов орбиты Марса и Венеры (Земли). Для видимой яркости планеты можно записать:

$$J_{1,2} = C \cdot \frac{B_0}{4\pi R_{1,2}^2} \cdot A_{1,2} \cdot \frac{\pi r_{1,2}^2}{4\pi (R_{1,2} + R_3)^2}.$$

Здесь $B_0$ — светимость Солнца, $R_{1,2,3}$ — радиусы орбит Венеры, Земли и Марса, $r_{1,2}$ — радиусы Венеры и Земли, а C — некоторая константа, определяющая угловое распределение яркости отраженного планетой света. Для нас важно, что в соответствии с условием задачи эта константа одинакова для Венеры и Земли. Из этого мы можем получить разницу видимых звездных величин Венеры и Земли:

$$m_{1S} - m_{2S} = -2.5 \lg \frac{J_{S1}}{J_{S2}} = -2.5 \lg \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_2 + R_3)^2}{(R_1 + R_3)^2} \right) = -1.45.$$

Из этого мы можем сделать вывод, что если обе планеты располагаются за Солнцем, Венера будет выглядеть заведомо ярче Земли. Это можно понять и на качественном уровне: Венера ближе к Солнцу, в этой конфигурации — ближе и к Марсу, у нее существенно больше альбедо. Разница радиусов Земли и Венеры очень незначительна и никак эти эффекты не компенсирует.

Рассмотрим другой случай — обе планеты располагаются вблизи нижнего соединения. Тогда существенное влияние на их видимую яркость оказывают их фазы, которые необходимо учесть. Пусть угловое расстояние планет от Солнца равно $\varepsilon$ . Тогда по теореме синусов для фазового угла $\phi$ мы можем записать:

$\Lambda_1$

Угол ф больше 90°, и для него мы имеем:

$$\cos \varphi_{1,2} = -\sqrt{1 - \sin^2 \varphi_{1,2}} \approx -1 + \frac{\sin^2 \varphi_{1,2}}{2} = -1 + \frac{\sin^2 \varepsilon \cdot R_3^2}{2R_{1,2}^2}.$$

Фаза планеты составляет

$$F_{1,2} = \frac{1 + \cos \varphi_{1,2}}{2} = \frac{\sin^2 \varepsilon \cdot R_3^2}{4R_{1,2}^2}.$$

По условию задачи, яркость планеты с фазой F есть яркость ее полного диска на том же расстоянии от Солнца и наблюдателя, умноженная на фазу. Отсюда мы получаем соотношение звездных величин Венеры и Земли, если они находятся близ нижнего соединения с Солнцем:

$$\begin{split} m_{1I} - m_{2I} &= -2.5 lg \frac{J_{1I}}{J_{2I}} = -2.5 lg \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 - R_2)^2}{(R_3 - R_1)^2} \cdot \frac{F_1}{F_2} \right) = \\ &= -2.5 lg \left( \frac{R_2^4}{R_1^4} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 - R_2)^2}{(R_3 - R_1)^2} \right) = -1.0. \end{split}$$

И вновь Венера оказывается ярче Земли, причем на малых угловых расстояниях от Солнца эта разница практически постоянна. Совершенно очевидно, что нам не подойдет вариант, при котором Земля располагается вблизи нижнего соединения, а Венера — позади Солнца. Действительно, в этом случае фаза Венеры практически полная, расстояние до нее равно $R_1 + R_3$ . Земля находится ближе к Марсу (расстояние $R_3 - R_2$ ), но имеет малую фазу. Определим, чему должна быть равна эта фаза $F_2$ , чтобы видимые яркости могли сравняться:

$$\frac{J_{1S}}{J_{2I}} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 - R_2)^2}{(R_3 + R_1)^2} \cdot \frac{1}{F_2} = 1.$$

Отсюда мы получаем $F_2 = 0.20$ . Это достаточно большая фаза. Для ее достижения фазовый угол Земли должен составлять $\varphi_2 = \arccos(2F_2 - 1) = 126.9^\circ$ . По теореме синусов мы можем определить элонгацию Земли:

$$\frac{\sin \varepsilon}{R_2} = \frac{\sin \varphi_2}{R_3}; \quad \varepsilon = 31.7^{\circ}.$$

Это больше, чем максимальная элонгация Венеры на Марсе (28.3°). Более того, мы можем принять во внимание, что в этом случае расстояние от Марса до Земли будет уже существенно больше, чем $R_3 - R_2$ ., и мы несколько переоцениваем яркость Земли. С другой стороны, Венера в наибольшей элонгации, несмотря на фазу 50% светит даже ярче, чем в верхнем соединении, за счет меньшего расстояния до Марса, соответствующая разница составляет $0.37^{\rm m}$ . В итоге, предположение о Земле вблизи нижнего соединения не дает нам решения задачи.

Нам остается предположить единственный вариант: Земля находится позади Солнца и имеет практически полную фазу (будем считать ее в первом приближении равной единице), а Венера, наоборот, располагается между Солнцем и Марсом и имеет вид тонкого серпа. Запишем выражение для отношения яркостей Венеры и Земли:

$$\frac{J_{1I}}{J_{2S}} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 + R_2)^2}{(R_3 - R_1)^2} \cdot F_1.$$

Считая яркости Земли и Венеры равными, определим фазу Венеры:

$$F_1 = \frac{R_1^2}{R_2^2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} \cdot \frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{(R_3 - R_1)^2}{(R_3 + R_2)^2} = 0.033.$$

Теперь мы можем определить угловое расстояние Венеры (и Земли) от Солнца:

$$sin^2 \varepsilon = \frac{4F_{1,2} \cdot R_1^2}{R_3^2}; \quad \varepsilon = 10^\circ.$$

Очевидно, что на столь малом угловом расстоянии от Солнца фаза Земли вблизи верхнего соединения, как мы и предполагали, близка к единице. Однако мы можем определить ее и более точно. Из теоремы синусов (см. рисунок) мы имеем

$$\sin \gamma_2 = \sin \varepsilon \frac{R_3}{R_2}$$ ; $\gamma_2 = 15^\circ$ ;
$F_2 = \frac{1 + \cos \gamma_2}{2} = 0.983$ .

Хотя мы использовали приближенный вариант решения, мы получили ответ, очень близкий к точному, с учетом предположения об отражающих свойствах атмосфер Венеры и Земли. Точное угловое расстояние Земли и Венеры от Солнца составляет 10.3, фаза Венеры – 0.037, фаза Земли – 0.981. И это единственный возможный вариант соединения с равным блеском, в чем можно убедиться из диаграммы «элонгация от Солнца – видимая звездная величина» для Венеры и Земли на Марсе:

1-3 этапы – 2+2+2 балла. Обоснованное указание, что для решения задачи не подходят три варианта расположения Земли и Венеры: обе планеты вблизи верхнего соединения; обе планеты вблизи нижнего соединения; Венера вблизи верхнего соединения, Земля вблизи нижнего соединения. В первых двух случаях должна быть получена оценка разницы видимых звездных величин (или соотношения видимых яркостей) Земли и Венеры, которая практически не зависит от элонгации и все время оказывается в пользу Венеры. Третий вариант (Земля вблизи Марса, а Венера позади Солнца) может быть объяснен через вычисление соответствующей фазы и элонгации Земли, как сделано выше, а может быть отвергнут как достаточно очевидно не соответствующий условию, но в обязательном порядке быть упомянут.

Если участник в ходе ошибочного решения допускает один из этих вариантов, то ему не выставляется 2 балла, соответствующие анализу этого варианта. Он также не получает баллы за последующие этапы решения, сделанные в рамках этого предположения. Тем не менее, он может получить баллы за последующие этапы, если правильный вариант (Венера вблизи нижнего соединения, Земля вблизи верхнего соединения) им верно рассматривается.

4 этап – 2 балла. Определение элонгации Венеры и Земли в момент соединения. Оценивается лишь подход, соответствующий правильному предположению (Венера у нижнего соединения, Земля у верхнего соединения), при этом участник может использовать как приближенные величины расстояний до планет (соответствующих соединению), так и пытаться уточнить их. Точность определения элонгации – 1, то есть полностью может быть оценено только правильно обоснованное решение с ответом от 9 до 11. При погрешности до 3 и правильном подходе за этап выставляется 1 балл.

5 этап – 2 балла. Определение фаз обеих планет (по 1 баллу за каждую), точность – 0.01. Таким образом, фаза Земли, равная в точности 1.0, правильным ответом не является.

Альтернативный подход к решению: разделение на возможные случаи (верхнее/нижнее соединение Венеры и Земли) не проводится, а строится зависимость яркости (или звездной величины) от углового расстояния от Солнца для любого положения Земли и Венеры. Математически это достаточно сложно, но может быть исполнено графически на основе расчетов при некоторых значениях элонгации. В результате, должна быть получена диаграмма, аналогичная приведенной в конце решения. Если расчеты выполнены верно, и в итоге получается одно пересечение кривых, соответствующих Венере и Земле при их правильной конфигурации, то при условии выполнения всех требований по точности решение засчитывается полностью. Наличие других решений (что является следствием ошибок при вычислениях) уменьшает оценку на 2 балла за каждое такое решение. При этом к правильной модели решения предъявляются такие же требования по точности.