Точность определения координат подобным способом будет разной в зависимости от положения источника относительно граней куба. Будем считать для простоты, что одна грань ориентирована к Северному полюсу мира, еще одна, граничащая с ней — в точку весеннего равноденствия. Предположим для начала, что все четыре грани, ориентированные в точки небесной сферы на экваторе, измеряют сигнал от источника абсолютно точно. Если прямое восхождение источника совпадает с прямым восхождением перпендикуляра к одной из этих граней, то источник будет зафиксирован этой гранью, а также полярной гранью (будем считать склонение источника положительным).

Если склонение источника равно $\delta$ , а плотность потока излучения равна F, то при идеальной точности экваториальная и полярная грани зафиксируют потоки

$$J_{\rm E} = F d^2 \cos \delta,$$

$$J_{\rm P} = F d^2 \sin \delta,$$

где d – длина ребра куба. Тогда склонение можно было бы определить по формуле

$$\delta = \operatorname{arctg} (J_{\rm P} / J_{\rm E}).$$

Учтем теперь, что полярный поток определяется с погрешностью $J_{\rm P} \cdot (1 \pm \epsilon)$ . Тогда мы имеем граничные значения измеренного склонения:

$$tg(\delta - \Delta \delta) = tg \delta \cdot (1 - \varepsilon)$$ ; $tg(\delta + \Delta \delta) = tg \delta \cdot (1 + \varepsilon)$ .

Пользуясь формулами приближенного вычисления, приведенными в справочных данных, имеем:

$$\varepsilon tg\delta = \frac{\Delta \delta}{\cos^2 \delta}; \quad \Delta \delta = \varepsilon \sin \delta \cos \delta.$$

Мы получаем, что вблизи экватора или полюса, когда источник находится около нормали к какой-то одной грани, погрешность уменьшается (в реальности, она определяется там шумами детектора, полезный сигнал от которого стремится к нулю, но мы этот эффект здесь не рассматриваем). Максимальной погрешность будет при $\delta = 45^{\circ}$ и составит $\epsilon/2$ радиан. В данных рамках — мы пока считаем, что погрешность есть только у полярного детектора — ситуация не изменяется, если источник не находится на одном прямом восхождении с нормалью экваториального детектора, так как потоки на экваториальные детекторы мы знаем точно. Погрешность полярного детектора приводит к ошибке координаты $\delta$ , то есть положение источника смещается вдоль линии небесной сферы, направленной к положению нормали того детектора, который измерил поток с погрешностью.

Рассмотрим теперь общий случай — все детекторы обладают одинаковой погрешностью измерений. Рассмотрим оси трех детекторов, граничащих друг с другом, пусть одна попрежнему направлена в Северный полюс мира, а две другие — в точки небесного экватора с прямыми восхождениями 0ч и 6ч. Если источник находится на большом круге небесной сферы, соединяющем какие-либо две из этих точек, то погрешность измерений будет смещать источник только вдоль этого большого круга (мы не учитываем шумы третьего детектора с нулевым полезным сигналом), стрелки на рисунке. Максимальная погрешность будет достигаться в середине этой дуги между двумя осями, но площадь ошибок будет оставаться близкой к нулю.

Для рассмотрения максимальной площади нам нужно рассмотреть центр равностороннего сферического треугольника, образованного тремя точками – осями детекторов. Очевидно, что его прямое восхождение составляет 3ч. Определим его склонение $\delta$ . Соединим эту точку с Северным полюсом мира и точкой весеннего равноденствия. В этом равнобедренном треугольнике две одинаковые стороны равны $\gamma = 90^{\circ} - \delta$ , а угол между ними – $120^{\circ}$ . Основание треугольника равно $90^{\circ}$ , его косинус равен нулю. Запишем выражение для сферического треугольника:

$$0 = \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma \cos 120^\circ = \cos^2 \gamma - \frac{\sin^2 \gamma}{2}; \quad \gamma = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) = 54.7^\circ.$$

Склонение данной точки составляет 35.3°. Определим величину максимальной погрешности, которую вносит каждая грань (в радианах):

$$\sigma = \varepsilon \sin \gamma \cos \gamma = \frac{\varepsilon \sqrt{2}}{3}.$$

Смещение источника за счет погрешностей каждой из граней будет происходит вдоль большого круга, направленного к оси грани. Рассмотрим предельный случай, при котором все три погрешности дадут максимальный суммарный эффект. Как мы видим из рисунка, этот эффект будет слегка зависеть от направления погрешности. В сторону одной из осей куба смещение может достигать $\sigma_1 = 2\sigma$ . В направлении между положениями осей (под углом $30^\circ$ к направлению на ось) максимальная погрешность составляет

$$\sigma_2 = 2\sigma \cos 60^\circ = \sigma \sqrt{3}$$

Тем самым, мы знаем величины погрешности в шести направлениях к полюсам детекторов и еще в шести направлениях биссектрис между полюсами. По ним можно понять характер всей фигуры на небе, в которой может находиться источник:

Это правильный шестиугольник, сторона которого равна $\sigma_1$ . Его площадь равна шести площадям равностороннего треугольника с той же стороной:

$$S = 6 \cdot \frac{\sigma_1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sigma_1^2 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \sigma^2 \cdot 6\sqrt{3} \approx 10.4 \cdot \sigma^2.$$

В качестве приближенного варианта вместо шестиугольника может выступать круг с радиусом, равным среднему арифметическому из $\sigma_1$ и $\sigma_2$ , что даст в итоге ответ

$$S \approx \pi \sigma^2 \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 \approx 10.9 \cdot \sigma^2$$

либо же считать, что площадь фигуры есть среднее арифметическое от площадей кругов с радиусами $\sigma_1$ и $\sigma_2$ :

$$S \approx \pi \sigma^2 \left(\frac{4+3}{2}\right) \approx 11.0 \cdot \sigma^2$$

Все эти оценки могут считаться правильными. Чуть худшую точность дает предположение, что данная фигура есть просто круг с радиусом $\sigma_1$ (фактически, круг, описанный около данного шестиугольника, площадь $12.5\sigma^2$ ) или $\sigma_2$ (вписанный круг, площадь $9.4\sigma^2$ ). Воспользовавшись далее точной формулой, свяжем площадь фигуры с относительной погрешностью детекторов $\epsilon$ :

$$S = \varepsilon^2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 2.31 \cdot \varepsilon^2.$$

Значение $\varepsilon$ есть 0.03 радианы или 1.72°, максимальная «площадь ошибок» на небе составляет 6.8 квадратных градуса.

Система оценивания (в случае точного построения решения):

1 этап — 3 балла. Качественное рассмотрение зависимости «площади ошибок» от расположения источника на небе. В ходе этапа участники должны убедиться, что при подобных характеристиках прибора «зона ошибок» сжимается в точку, когда источник расположен на оси одного из граней детектора (и перпендикулярен двум другим) и в короткий отрезок на небесной сфере — если источник перпендикулярен одной из граней (по 1 баллу за каждый вывод). Максимальной площадь ошибок будет в том случае, если источник равноудален от осей пересекающихся трех граней, то есть находится на продолжении триагонали куба (еще 1 балл).

2 этап – 1 балл. Определение погрешности, вносимой одной гранью, в зависимости от углового расстояния от ее оси $(\gamma)$ , $\sigma = \epsilon \sin 2\gamma / 2$ . Оценивается только при верном выражении или численном значении.

$\frac{3}{9}$ этап − $\frac{2}{6}$ балла. Определение углового расстояния от продолжения триагонали до осей детекторов и вычисление погрешности, вносимой одной гранью ( $\sigma$ ) на таком угловом расстоянии. Может выполняться как через сферическую теорему косинусов (см. выше), так и более простым образом − по теореме Пифагора с учетом того, что данный угол − есть угол между коротким катетом (гранью) и гипотенузой (триагональ) прямоугольного треугольника, образованного двумя соседними вершинами куба и вершиной, противоположной одной из них. Учитывая, что длина триагонали куба со стороной h есть $h\sqrt{3}$ , а длина диагонали $-h\sqrt{2}$ , получаем, что данный угол есть arctg ( $\sqrt{2}$ ) или arccos ( $1/\sqrt{3}$ ).

Вероятная ошибка при выполнении этапа: участник предполагает, что угловое расстояние от оси граней составляет 45°. В результате, коэффициент перед выражением погрешности от одной грани ( $\sigma$ ) оказывается равным 1/2 вместо $\sqrt{2/3}$ . Эффект незначителен, поэтому оценка за этап снижается на 1 балл, остальные оцениваются в полной мере.

$\frac{4\ \mathrm{этап}-4\ \mathrm{балла.}}{\mathrm{сместиугольник}}$ Определение площади фигуры ошибок. При ее точном представлении (шестиугольник) и отсутствии иных ошибок этап оценивается полностью. При ее представлении в виде круга с радиусом, средним между $\sigma_1$ и $\sigma_2$ , этап оценивается из 3 баллов. Если участники берут в качестве радиуса одну из этих величин, то при правильных вычислениях этап оценивается в 2 балла. Точность численного значения (без учета допущений, описанных выше) должна быть не хуже 10%. При ошибке до 20% оценка уменьшается на 1 балл, до 30% — на 2 балла.

Вероятное приближенное решение всего задания: участник переводит относительную погрешность (0.03) из радиан в градусы (1.72). Далее площадь ошибок считается кругом с этим радиусом, и в результате получается ответ 9.3 квадратных градуса, что на 25% больше верного. В этом случае считается, что участник не выполнил первый этап решения, но получил неплохую реализацию 2-4 этапов, ошибка соответствует снижению финальной оценки на 2 балла. Таким образом, итоговая оценка составляет 5 баллов. В случае ошибки в 2 или 4 раза (например, если угол считается диаметром, а не радиусом круга ошибок) оценка уменьшается на 2 балла.