В момент великого противостояния обе планеты и центральная звезда находятся на одной прямой, при этом внешняя планета находится в перицентре. Планеты движутся с различными скоростями, как угловыми так и линейными, поэтому конфигурация меняется с течением времени. Определим положения планет спустя 10 дней.

Планета c движется по круговой орбите, период обращения находим по третьему закону Кеплера в системе единиц «масса Солнца – a.e. – год»:

$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{1}{M},$$

$$T_1 = \sqrt{\frac{a_1^3}{M}} = \sqrt{\frac{0.195^3}{0.78}} = 0.0975z = 35.6 \text{ cym}.$$

Следовательно, за 10 суток внутренняя планета сдвинется на угол $\alpha$ , равный

$$\alpha = 360^{\circ} \cdot 10/35.6 = 101^{\circ}$$

Внешняя планета находится на эллиптической орбите, поэтому для определения смещения понадобится решать уравнение Кеплера. Сначала определим период обращения внешней планеты:

$$T_2 = \sqrt{\frac{a_2^3}{M}} = \sqrt{\frac{0.538^3}{0.78}} = 0.44720\partial a = 163 \text{ cym}.$$

Следовательно, за 10 суток с момента прохождения перигелия средняя аномалия возрастет от нуля до величины

$$M = 360^{\circ} \cdot 10/163 = 22^{\circ}$$

Нас интересует величина истинной аномалии, следовательно, сначала требуется решить уравнение Кеплера и определить эксцентрическую аномалию, а затем связать ее с истинной. Уравнение Кеплера имеет вид

$$E - e \sin E = M$$

где все угловые величины выражены в радианах. После подстановки значений уравнение выглядит как

$$E - 0.18 sin E = 0.385$$

Данное уравнение приходится решать численно; поскольку эксцентриситет сравнительно невелик, можно воспользоваться методом последовательных приближений:

$$E_0 = M$$ , $E_1 = M + e \sin E_0$ ,... $E_n = M + e \sin E_{n-1}$ ,...

Итерации прекращаем в случае, когда модуль разности двух последовательных значений E будет меньше заданной точности. В нашем случае последовательность приближений будет выглядеть так: $E_0 = 0.385$ , $E_1 = 0.4526$ , $E_2 = 0.4637$ , $E_3 = 0.4655$ , $E_4 = 0.4658$ . Здесь цепочку приближений можно завершить. Эксцентрическая аномалия составит $E = 26.7^{\circ}$ . Истинная аномалия связана с эксцентрической соотношением

$$\operatorname{tg} \frac{v}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{E}{2},$$

$$v = 2\operatorname{arctg} \left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{E}{2} \right) = 2\operatorname{arctg} \left( \sqrt{\frac{1+0.18}{1-0.18}} \cdot \operatorname{tg} \frac{26.7^{\circ}}{2} \right) = 31.8^{\circ}.$$

Таким образом, на нашем рисунке $\alpha=101^{\circ}$ , $\beta\approx32^{\circ}$ , разность углов составляет $69^{\circ}$ . Определим расстояние от центральной звезды до внешней планеты. Мы знаем истинную аномалию, тогда расстояние от звезды до планеты будет, согласно уравнению эллипса в полярных координатах, равно

$$r_2 = \frac{a_2(1 - e^2)}{1 + e \cos y} = \frac{0.538(1 - 0.18^2)}{1 + 0.18\cos 32^\circ} = 0.452 \text{ a.e.}$$

Это расстояние незначительно больше перигелийного (0.441 а.е.). В треугольнике, образованном планетами и звездой спустя 10 дней после противостояния, мы знаем две стороны и угол между ними. Определим сначала расстояние между планетами по теореме косинусов:

$$r = \sqrt{a_1^2 + r_2^2 - 2a_1r_2\cos(\alpha - \beta)} = 0.42 a.e.$$

Далее, воспользовавшись теоремой синусов, определим заведомо острый угол $\psi$ с вершиной в положении планеты e:

$$\frac{\sin(\alpha - \beta)}{r} = \frac{\sin\psi}{a_1},$$

$$\sin\psi = \sin(\alpha - \beta) \cdot \frac{a_1}{r} = \sin 69^\circ \cdot \frac{0.195}{0.42} = 0.43, \quad \psi = 25.5^\circ.$$

Тогда фаза планеты e, наблюдаемая с планеты c, составит

$$\Phi_2 = \frac{1 + \cos \psi}{2} = 0.95.$$

Угол с вершиной в планете c, равен $\varphi = 180^{\circ} - (\alpha - \beta) - \psi = 85.5^{\circ}$ , тогда фаза планеты c, наблюдаемая с планеты e, составит

$$\Phi_I = \frac{1 + \cos\varphi}{2} = 0.54.$$

Фаза примерно соответствует половине освещенной поверхности диска.

Примечание: орбита планеты c почти круговая, эксцентриситетом 0.03 мы пренебрегли, тем более, что ошибка его определения превышает саму оценку эксцентриситета. Более того, существование самой планеты не подтверждено надежно. Наклонение орбит также неизвестно — в условии описана система, лишь отчасти напоминающая реальную.

Система опенивания.

1 этап – 2 балла. Определение угла поворота планеты c за 10 дней с момента противостояния, точность $3^{\circ}$ .

Возможная ошибка участника: неучет отличия массы звезды от массы Солнца. Первый этап не засчитывается, оценка снижается и за последующие этапы (см. далее).

2 этап — 3 балла. Определение истинной аномалии планеты e через 10 дней (средняя, эксцентрическая, истинная аномалия — по 1 баллу), точность 3°.

Возможная ошибка участника: вновь неучет отличия массы звезды от массы Солнца. Оценка снижается на 1 балл, последующие оцениваются в полной мере.

3 этап — 1 балл. Определение расстояние планеты е от звезды через 10 дней, точность 0.005 a.e.

Возможная неточность: участник предполагает, что расстояние осталось равно расстоянию в перицентре. Данный 1 балл за этап не выставляется, но последующие этапы оцениваются в полной мере.

Возможная ошибка: участник игнорирует эллиптичность орбиты второй планеты и действует также, как с первой планетой (фактически, истинная аномалия приравнивается к средней, а расстояние в нужный момент – среднему или перицентрическому). Этапы 2 и 3 не засчитываются полностью.

4 этап -2 балла (1+1). Определение угла $\psi$ с вершиной в планете e и фазы планеты e.

5 этап – 2 балла (1+1). Определение угла $\phi$ с вершиной в планете c и фазы планеты c.

Требуемая точность выполнения 4 и 5 этапов составляет 3 по углу и 0.03 – по фазе, без учета ошибок, сделанных на предыдущих этапах. При наличии этих ошибок необходимо сделать пересчет фаз с их учетом и сравнивать ответы участника с этими значениями.