Когда радар направлен в точку востока, линия его обзора есть линия запад-восток. Метеоры могут быть перпендикулярны лучу радара в этом случае, если их радиант расположен в плоскости, перпендикулярной этому лучу, то есть на небесном меридиане. В день летнего солнцестояния, 21 июня, прямое восхождение Солнца равно 6ч. За 11 суток Солнце смещается на

$$\Delta \alpha = 360^{\circ} \frac{11}{365.25} \approx 10.8^{\circ} = 0.72 \,\text{y}.$$

Следовательно, 2 июля в местный полдень в верхней кульминации находятся светила с прямым восхождением 6.72ч $\approx 6$ ч43м. За 58 минут до полудня в верхней кульминации были звёзды с прямым восхождением 6ч43м - 58м = 5ч45м. Это одно из возможных значений прямого восхождения радианта. Второе соответствует нижней кульминации, т. е. 17ч45м. Здесь мы не делали разницу между солнечным и звездным временем, поскольку за время $\sim 1$ часа эти шкалы расходятся всего на 10 секунд, что явно находится за пределами точности вычислений.

После того, как радар перенаправили в точку на горизонте, которая имеет азимут на $40^{\circ}$ больший, чем точка востока, он будет фиксировать метеоры, чей радиант находится на вертикалах с астрономическими азимутами $40^{\circ}$ или $220^{\circ}$ .

Если в первый момент времени радиант находился в верхней кульминации (t=0), то через 1ч40м он будет в западной полусфере неба, и для него возможен только вариант $A=40^\circ$ . Если же радиант располагался в нижней кульминации над точкой севера, то во второй момент для него возможна только восточная полусфера и азимут 220°. Рассмотрим эти два случая по отдельности.

Мы можем построить параллактический треугольник, в котором нам известны часовой угол t=1ч40м = 25° и азимут A=40°, а также широта места наблюдения. Тогда с помощью сферической теоремы косинусов мы можем найти параллактический угол:

$$\cos p = -\cos t \cos(180^{\circ} - A) + \sin t \sin(180^{\circ} - A) \cos(90^{\circ} - \varphi) =$$

= $\cos t \cos A + \sin t \sin A \sin \varphi \approx 0.908$ .

Отсюда получаем $p \approx 24.7^\circ$ . Чтобы найти склонение радианта, можно воспользоваться теоремой синусов для сферического треугольника:

$$\frac{\sin(90^{\circ} - \delta)}{\sin(180^{\circ} - A)} = \frac{\sin(90^{\circ} - \varphi)}{\sin p} \quad \Rightarrow \quad \frac{\cos\delta}{\sin A} = \frac{\cos\varphi}{\sin p} \quad \Rightarrow \quad \cos\delta = \frac{\cos\varphi\sin A}{\sin p} \approx 0.946.$$

Тогда склонение равно $\delta_1 \approx \pm 18.9^\circ$ . На широте 52° над горизонтом поднимаются объекты со склонением вплоть до $-38^\circ$ , поэтому оба значения склонения возможны, и надо сделать выбор. Можно воспользоваться формулой пяти элементов:

$$sin\delta = \frac{cost \, sinA \, sin\varphi - sint \, cosA}{sinp} \approx 0.324 \quad \Rightarrow \quad \delta \approx 18.9^{\circ}.$$

В данном случае склонение определяется однозначно, поскольку второе значение $\delta$ не попадает в область $\pm 90^{\circ}$ . В принципе, эту формулу можно было использовать сразу вместо теоремы синусов.

Еще один способ определения склонения заключается в применении сферической теоремы синусов для высоты радианта в верхней кульминации:

$$\frac{\sin(90^{\circ} - h)}{\sin t} = \frac{\cos(90^{\circ} - \varphi)}{\sin p} \quad \Rightarrow \quad \cos h = \frac{\sin t \cos \varphi}{\sin p} \approx 0.623 \quad \Rightarrow \quad h \approx \pm 51.5^{\circ}.$$

Радиант не может находиться глубоко под горизонтом (фактически, это случай нижней кульминации радианта), так как в этом случае метеоры зафиксировать бы не удалось. Полученное значение высоты соответствует склонению радианта +18.9°.

Рассмотрим теперь случай нижней кульминации радианта с последующим проходом азимута $A_1$ =220°. Рассуждая тем же образом с учетом величины часового угла $t_1$ =205°, можно прийти к тем же значениям соѕ p и соѕ $\delta$ . Однако, формула пяти элементов даёт другое значение склонения:

$$\sin \delta = \frac{\sin t_1 \cos A_1 - \cos t_1 \sin A_1 \sin \varphi}{\sin \rho} \approx -0.324 \quad \Rightarrow \quad \delta \approx -18.9^{\circ}.$$

Очевидно, что точка с таким склонением вблизи нижней кульминации находится очень глубоко под горизонтом, и метеоры такого потока в этот момент бы не наблюдались. К этому выводу можно было прийти и на основе вычисления высоты радианта над горизонтом:

$$\cosh_1 = -\frac{\sin t_1 \cos \varphi}{\sin p} \approx 0.623 \quad \Rightarrow \quad h_1 \approx \pm 51.5^\circ.$$

Положительная высота здесь невозможна, так как светило с южным склонением не может находиться так высоко в северной части неба.

Наконец, приведем простой приближенный способ, позволяющий определить склонение радианта с небольшой погрешностью, вообще не прибегая к формулам сферической тригонометрии. Предположим, что радиант в первый момент наблюдения находился в верхней кульминации, а потом он оказался на азимуте $+40^{\circ}$ , то есть его суточный путь проходил южнее зенита. До достижения часового угла t он пройдет дугу по небу, приближенно равную $t\cos\delta$ . Радиант вблизи кульминации движется по небесной сфере практически горизонтально, поэтому эту же дугу можем считать примерно равной

$$t\cos\delta = A\cos h = A\cos(90^{\circ} - \varphi + \delta) = A\sin(\varphi - \delta) = A(\sin\varphi\cos\delta - \cos\varphi\sin\delta).$$

Отсюда мы получаем:

$$\delta = arctg \frac{A\sin \varphi - t}{A\cos \varphi} = +15^{\circ}.$$

Заметим, что мы сразу нашли не только величину склонения (с погрешностью около $4^{\circ}$ ), но сразу же и его знак. Аналогично, для случая нижней кульминации мы получим склонение около $-15^{\circ}$ и расположение под горизонтом.

Точные координаты радианта: $\alpha = 5$ ч45м, $\delta = +18.9^{\circ}$ , они соответствуют известному летнему дневному метеорному потоку $\beta$ -Тауриды, порожденному кометой Энке и имеющему возможную связь с Тунгусским явлением.

Система опенивания.

1 этап — 1 балл. Вывод о том, что радиант метеорного потока находится в плоскости, перпендикулярной направлению прихода эхо-сигнала. В частности, на небесном меридиане

в момент, когда радар направлен на восток, и на вертикалах 40° и 220° – во втором положении.

2 этап – 3 балла. Определение прямого восхождения радианта. Из них 1 балл выставляется за определение прямого восхождения Солнца в день наблюдения. По 1 баллу выставляется за каждый вариант значения прямого восхождения. Надо учесть, что момент летнего солнцестояния мы знаем с точностью до одних суток. Поэтому участник может получить значения прямого восхождения в пределах ±4 минуты, что не влияет на оценку.

3 этап – 4 балла. Определение склонения радианта для случая верхней кульминации, точность 2. При правильном вычислении склонения выставляется 4 балла. В некоторых вариантах выкладок тригонометрические функции могут давать дополнительные решения, как показано выше. Если участники игнорируют эти дополнительные решения, то оценка снижается на 1 балл.

Поскольку часовой угол невелик, параллактический треугольник довольно узкий и может быть приближен плоским треугольником. Такие приближенные решения оцениваются в 2 балла при итоговой погрешности не более чем на 5° и в 1 балл при погрешности в пределах 8°. Также 2 баллами за этап оценивается приведенное выше решение, основанное на длине суточной дуги, где погрешность составляет 4°.

3 этап – 2 балла. Доказательство того, что для случая прямого восхождения 17ч45м решений нет. Здесь участник может по ошибке перепутать величины азимутов и часовых углов и прийти к формальному выводу, что радиант метеорного потока вообще не может быть в нижней кульминации, даже под горизонтом (например, высоты за пределами диапазона ± 90°). Такое решение оценивается 1 баллом.