Пылинки, находящиеся на разном расстоянии имеют разную температуру: чем ближе к звезде, тем выше температура. Если максимальная температура пылинок 1500K, следовательно, при большей температуре пылинки испаряются. Отсюда можно оценить внутренний радиус кольца $R_1$ . Из закона Стефана-Больцмана следует, что частица получает от звезды энергию

$$\frac{L_0}{4\pi R_1^2}\pi r^2 = \frac{4\pi R_0^2 \sigma T_0^4}{4\pi R_1^2}\pi r^2 = \frac{\pi R_0^2 \sigma T_0^4 r^2}{R_1^2}$$

Здесь $L_0$ , $R_0$ и $T_0$ — светимость, радиус и температура звезды, r — радиус астероида. Всю эту энергию частица, нагретая до температуры T, должна излучать. Тогда

$$\frac{\pi R_0^2 \sigma T_0^4 r^2}{R_I^2} = 4\pi r^2 \sigma T^4$$ , $R_1 = \frac{R_0}{2} \bigg(\frac{T_0}{T}\bigg)^2 \approx 90 R_0 \approx 630000 \,$ км

Радиус внешней границы $R_2$ оценим из условия приливного распада. Пусть астероид сферически симметричный. Тогда на центр астероида действует сила притяжения звезды, создающая ускорение

$$w_0 = \frac{GM}{R_2^2}.$$

На ближайшем к звезде краю астероида это ускорение составит

$$w_1 = \frac{GM}{(R_2 - r)^2}.$$

Разность ускорений, действующих на ближнюю и центральную части астероида со стороны звезды, или приливное ускорение, есть

$$w_{T} = w_{I} - w_{0} = \frac{GM}{R_{2}^{2}} \left[ \left( 1 - \frac{r}{R_{2}} \right)^{-2} - 1 \right] \approx \frac{GM}{R_{2}^{2}} \left( 1 + 2\frac{r}{R_{2}} + 1 \right) = \frac{2GMr}{R_{2}^{3}}$$

Здесь M — масса звезды, r — радиус астероида. От разрыва астероид удерживает собственная гравитация, ускорение которой равно

$$w_g = \frac{Gm}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G\rho r.$$

Условием разрушения астероида является равенство приливного и гравитационного $w_{\rm T}=w_{\rm g}$ . Отсюда

$$R_2 = \left(\frac{3M}{2\pi\rho}\right)^{1/3} \approx 910000 \, \text{км}$$

1 этап – 1 балл. Вывод о том, что внутренняя граница кольца определяется предельной температурой нагрева пылинок.

2 этап — 3 балла. Запись формул, определяющих нагрев (1 балл) и остывание (1 балл) пылинок и вывод формулы для вычисления внутреннего радиуса кольца (1 балл). Участники могут использовать формулу для температуры тела, нагреваемого звездой, например, в виде

$$T = 4\sqrt{\frac{L_0(1-A)}{16\pi\sigma R_I^2}},$$

что не является ошибкой и должно оцениваться полным баллом. Также участники могут пытаться оценить альбедо пылинок. Альбедо в несколько процентов (до 5%) также не является ошибкой, большим его принимать нельзя, так как пылинки по условию задачи темные.

3 этап — 1 балл. Получение величины $R_1$ . Засчитывается при правильно выполненных предыдущих пунктах и правильной размерности и единицах ответа.

4 этап — 1 балл. Вывод о том, что внешняя граница кольца определяется приливным распадом астероидов.

5 этап — 3 балла. Запись формул, определяющих приливное (1 балл) и гравитационное (1 балл) ускорения и вывод формулы для вычисления внутреннего радиуса кольца (1 балл).

Комментарий: следует заметить, что небольшие астероиды, форма которых далека от круговой, удерживаются от распада не собственной гравитацией (по крайней мере, не только ей), а такими же внутренними силами, которые препятствуют, например, разрушению стола. Участник может пытаться оценить силу, необходимую для разрыва астероида. Если оценка разумная, а ответ правдоподобный, то решение засчитывается в полном объеме.

6 этап — 1 балл. Получение величины $R_2$ . Засчитывается при правильно выполненных предыдущих пунктах и правильной размерности и единицах ответа.