На первый взгляд, картина может напоминать движение аппарата с фотонным парусом, чья тяга направлена от Солнца и тем самым облегчает аппарату преодоление силы его притяжения FG. Однако здесь есть важное физическое различие, в корне меняющее ход решения. В случае фотонного паруса сила светового давления, как и сила притяжения Солнца, убывает обратно пропорционально расстоянию от Солнца R. Это позволяет рассматривать движение аппарата в поле центрального тела с уменьшенной эффективной массой. В этом случае достаточно очевидно, что силе светового давления нужно достичь половины силы притяжения, и орбита из круговой превратится в параболическую.

В нашем же случае сила тяги двигателя f не зависит от расстояния до Солнца. Из этого можно сделать качественный вывод: при включении двигателя аппарат начнет удаляться от Солнца, сила его притяжения F будет убывать, а отношение сил f/F – расти. Таким образом, аппарат может улететь из Солнечной системы и при силе тяги f, меньшей F0/2, где F0 – притяжение Солнца на расстоянии R0. Пока это лишь качественный вывод, который в дальнейшем подтвердится численно в ходе решения.

Сила f является центральной и потенциальной. Поэтому мы можем пользоваться законами сохранения момента импульса и энергии. Равнодействующая сила (мы считаем ее положительной, если она направлена от центра) составляет

$$F = f - F_G = f - \frac{GMm}{R^2}. (1)$$

Здесь M – масса Солнца. Потенциальная энергия аппарата на расстоянии R от Солнца есть

$$E_P = -f \cdot R - \frac{GMm}{R} + C. \tag{2}$$

Здесь C – произвольная константа. Потенциальная энергия достигает максимума на расстоянии RC, на котором сила F обращается в ноль:

$$R_C = \sqrt{\frac{GMm}{f}}. (3)$$

Очевидно, что при достижении этого расстояния аппарат будет далее вытолкнут из Солнечной системы работой своего двигателя. Казалось бы, нам достаточно посчитать полную энергию аппарата в момент включения двигателя, приравнять ее к потенциальной энергии на расстоянии RC и тем самым получить выражение для силы f. Однако, этот подход не будет верным. В соответствии с законом сохранения момента импульса, аппарат будет

иметь на этом расстоянии перпендикулярную компоненту скорости, а значит, еще и кинетическую энергию, которую также необходимо учесть в выражении для баланса полной энергии.

Итак, в соответствии с законом сохранения момента импульса, перпендикулярная компонента скорости на расстоянии R составит

$$v_T(R) = v_0 \frac{R_0}{R} = \frac{\sqrt{GMR_0}}{R}.$$ (4)

Полная скорость v(R) будет не меньше $v_T(R)$ . Из этого мы получаем выражение для минимальной полной энергии аппарата на расстоянии R:

$$E = E_P + \frac{mv_T^2(R)}{2} = -f \cdot R - \frac{GMm}{R} + \frac{GMmR_0}{2R^2} + C.$$ (5)

Запишем выражение для порогового расстояния $R_{\rm E}$ , для которого полная энергия окажется максимальной. Именно его нужно будет достичь аппарату, чтобы покинуть Солнечную систему. Для этого приравняем производную полной энергии по радиусу dE/dR нулю:

$$-f + \frac{GMm}{R_E^2} - \frac{GMmR_0}{R_E^3} = \frac{GMm}{R_E^3} (R_E - R_0) - f = 0.$$ (6)

Теперь нам нужно проверить, в каком случае аппарат сможет достичь расстояния $R_{\rm E}$ . Для этого приравняем величины полной энергии на расстояниях $R_0$ (включение двигателя) и $R_{\rm E}$ :

$$-f \cdot R_0 - \frac{GMm}{R_0} + \frac{GMm}{2R_0} = -f \cdot R_E - \frac{GMm}{R_E} + \frac{GMmR_0}{2R_E^2}.$$ (7)

Преобразуем это выражение:

$$f \cdot (R_{E} - R_{0}) + GMm \left( \frac{1}{R_{E}} - \frac{1}{R_{0}} \right) + \frac{GMm}{2R_{0}R_{E}^{2}} (R_{E}^{2} - R_{0}^{2}) = 0;$$

$$f \cdot (R_{E} - R_{0}) - \frac{GMm}{R_{0}R_{E}} (R_{E} - R_{0}) + \frac{GMm}{2R_{0}R_{E}^{2}} (R_{E} - R_{0}) (R_{E} + R_{0}) = 0;$$

$$f - \frac{GMm}{R_{0}R_{E}} + \frac{GMm}{2R_{0}R_{E}^{2}} (R_{E} + R_{0}) = f - \frac{GMm}{2R_{0}R_{E}^{2}} (R_{E} - R_{0}) = 0.$$ (8)

Учитывая далее соотношение (6), имеем:

$$f = \frac{GMm}{R_E^3} (R_E - R_0) = \frac{GMm}{2R_0 R_E^2} (R_E - R_0).$$ (9)

Оставляя вне рассмотрения тривиальное решение $R_E = R_0$ , получаем простое выражение для $R_E$ и силы f:

$$R_E = 2R_0; \quad f = \frac{GMm}{8R_0^2}.$$ (10)

Мы получили ответ на вопрос задачи. Для его наглядности приведем два графика. На первом показана зависимость полной энергии E(R) в соответствии с формулой (5) для силы f, равной 1/9, 1/8 и 1/7 от силы притяжения Солнца на расстоянии R0. Отметим, что выражение с коэффициентом 1/9 получается в случае неверного предположения о равенстве полной энергии на расстоянии R0 и потенциальной энергии на расстоянии RC, о котором мы говорили выше. За ноль энергии принято состояние аппарата в момент включения двигателя на расстоянии R0.

Мы видим, что аппарат ни при каких условиях не может приблизиться к Солнцу, а при силе f, меньшей 1/8 от силы тяжести на расстоянии R0, у него есть диапазон расстояний от R0 до некоторого предела, где он может двигаться. «Лишняя» энергия при этом переходит в радиальное (по отношению к Солнцу) движение аппарата. При граничном значении 1/8 этот предел составляет RE = 2R0.

Второй график показывает зависимость расстояния аппарата от Солнца от времени для тех же трех случаев (здесь T0 – орбитальный период аппарата на расстоянии R0 с выключенным двигателем). При силе f, равной предельному значению (1/8 от силы тяжести на расстоянии R0) аппарат в итоге оказывается на неустойчивой круговой орбите с радиусом RE, с которой при малейшем возмущении он в итоге может покинуть Солнечную систему (что в итоге и произошло на графике вследствие конечной точности расчетов). Возможность оказаться на круговой орбите – это еще один критерий, по которому можно было решить задачу, определив выражение для силы f.

Остается лишь добавить очевидный факт: при более правильном использовании двигателя (тяга вдоль движения) аппарат через какое-то время мог бы покинуть Солнечную систему при сколь угодно малой величине тяги.

Система оценивания. Энергетический подход представляется наиболее простым и эффективным методом решения задачи, хотя нельзя исключать применения участниками и других методик. В этом случае необходима детальная проверка решения с выделением этапов, аналогичных по смыслу этапам приведенного выше решения. В случае энергетического подхода система оценивания следующая:

• $\frac{1}{2}$ этап $\frac{2}{2}$ балла. Правильное выражение для потенциальной энергии в поле действия притяжения Солнца и тяги двигателя, формула (2) в решении. Константа C в ней может быть принята любой, в том числе и нулевой, и в этом случае не записываться. Участник может записать выражение для потенциальной энергии в непосредственном виде, оно может вытекать из его расчетов. Этап засчитывается только в случае правильной записи обоих слагаемых формулы (2), в том числе их знаков, в противном случае этап не засчитывается (0 баллов). Обращаем внимание, что значение «критического» расстояния $R_C$ в решении, формула (3), сделано для описания возможно неправильного хода решения и от участников не требуется.
• 2 этап 2 балла. Применение закона сохранения момента импульса и выражение для перпендикулярной компоненты скорости в зависимости от расстояния до звезды, формула (4). Так же, формула может быть записана в чистом виде или содержаться в выкладках участника. Этап засчитывается только при правильном написании, включая коэффициенты.
• 3 этап 1 балл. Запись выражения для минимальной полной энергии в зависимости от расстояния R (формула (5) или эквивалентное ей соотношение). Фактически, это объединение результатов, полученных на первых двух этапах решения.
• 4 этап 2 балла. Формулировка условия экстремума полной энергии на расстоянии $R_{\rm E}$ , за которым аппарат улетит из Солнечной системы (формула (6)).
• 5 этап 3 балла. Критерий энергетической достижимости предельного расстояния $R_{\rm E}$ (формула (7)), вычисление силы f из этого критерия.

В случае ошибок на первом или втором этапе они не засчитываются полностью. Последующие этапы могут быть засчитаны в случае их верного выполнения, если ошибки, сделанные на первых двух этапах не сделают их абсурдными. В частности, если они приводят к изменениям численных коэффициентов, но не нарушают логичность ответа, который должен находиться в интервале от $F_0/10$ до $F_0/2$ , не включая граничных значений, то этапы 3 и 4 оцениваются, исходя из качества их выполнения, а этап 5 оценивается из максимума 2 баллов.

При ошибках на первых этапах, которые приводят к абсурдным ответам или их отсутствию, все последующие этапы не засчитываются.

Вероятное неверное решение участника: по аналогии со световым давлением, предполагается, что для вылета из Солнечной системы нужна сила f, равная половине силы тяжести на расстоянии $R_0$ , то есть $f = GMm/2R_0^2$ . Все решение оценивается не выше 1 балла.

Вероятное неверное решение участника: находится расстояние, на котором равнодействующая двух сил равна нулю ( $R_{\rm C}$ , формула (3)). Фактически, вместо экстремума

полной энергии берется экстремум только потенциальной энергии. Далее записывается энергетическое условие достижимости этого расстояния. Если это делается с учетом кинетической энергии, то в итоге получается выражение для силы f = GMm/9R0 2 . Расстояние RC при этом равно 3R0. По первому рисунку мы можем понять суть сделанной ошибки. Действительно, при силе f = GMm/9R0 2 . полная энергия на расстоянии 3R0 сравнивается с полной энергией на старте (R0). Но эта точка находится за максимумом кривой полной энергии и поэтому не может быть достигнута. В этом случае не засчитываются 3 и 4 этапы решения и снижается 1 балл за последний этап. При отсутствии иных ошибок за решение выставляется 6 баллов.

Участник может сделать еще одну ошибку, не учитывая существование скорости у аппарата на расстоянии RC и тем самым не выполняя второй этап решения. Минимальная сила в этом случае составляет F0(3 – 22)/2 = 0.086 F0, что явно меньше истинного значения. Общая оценка не более 4 баллов.