Обратим внимание, что если мы соединим конец гномона со всеми точками видимого суточного пути Солнца, то мы получим конус с осью, направленной в северный или южный полюс мира. Траектория, которую описывает конец тени гномона, есть пересечение конуса, симметричного описанному выше, и горизонтальной плоскости. Таким образом, эта линия – коническое сечение, которое может быть эллипсом, параболой или гиперболой, в вырожденных случаях – кругом или прямой линией.

Линия будет иметь вид замкнутого эллипса или окружности, если Солнце в данном пункте в соответствующую дату будет незаходящим. Такая ситуация реализуется на схемах B, D и F, заметим, что во всех трех случаях тень движется по часовой стрелке, то есть дело происходит в высоких широтах северного полушария весной или летом.

В случаях A и C траектория разомкнута. Можно заметить, что она представляет собой параболу. Такой она будет, если нижняя кульминация Солнца происходит около горизонта. Теперь тень движется против часовой стрелки, то есть пункты A и C находятся в южных приполярных широтах, и дело происходит южным летом, то есть в начале года.

Наконец, траектория E представляет из себя прямую линию. Это происходит, если вершина гномона сама оказывается в плоскости суточного пути Солнца, то есть в равноденствие. Таким образом, для рисунка E мы можем сразу указать дату – 20 или 21 марта. Движение тени относительно гномона там идет по часовой стрелке, то есть солнечные часы E установлены в северном полушарии, хотя для решения данной задачи это значения не имеет.

Раньше весеннего равноденствия (то есть раньше картины E) наступили события, отраженные на картинах A и C. В обоих случаях это произошло в южных высоких широтах местным астрономическим летом. Обратим внимание, что трек тени C подходит ближе к гномону, чем в случае A. Это означает, что Солнце в полдень там было выше над горизонтом. Тем не менее, даже попавшая на часы часть трека охватывает больший диапазон азимутов, чем в случае A. Уже из этого можно сделать вывод, что Солнце в случае C сильнее удалено от небесного экватора, и картина наблюдается дальше от полюса, чем в случае A, но ближе к зимнему солнцестоянию. Этого уже достаточно для вывода, что событие C прjизошло раньше события A. Если дополнительно учесть, что оба трека представляют собой параболы, то есть Солнце в нижней кульминации располагается на горизонте, то можно (хотя и не обязательно для решения) дать и более точный ответ. Для нижней кульминации Солнца в южном полушарии имеем:

$$h_{\rm L} = -90^{\circ} - (\varphi + \delta) = 0,$$

откуда мы имеем ϕ + δ = –90°. Тогда высота в верхней кульминации в южном полушарии есть

$$h_{\rm H} = 90^{\circ} + \varphi - \delta = -2\delta.$$

В случае C эта высота больше, то есть склонение Солнца меньше. Итак, первые три буквы в ответе – C, A, E.

Рассмотрим оставшиеся три трека, которые соответствуют уже северному лету в полярных широтах. Они замкнуты, то есть Солнце во всех случаях незаходящее и даже в нижней кульминации находится существенно выше горизонта. Треки B и D близки к окружностям, а

трек D вообще является окружностью с центром в положении гномона. Такая ситуация может иметь место вблизи северного полюса. Масштабы треков по условию одинаковы, и радиус трека пропорционален тангенсу зенитного расстояния tan (90° – h) ≈ tan (90° – δ). В случае B радиус меньше, то есть склонение Солнца больше, и он следует позже трека D.

Наконец, трек F представляет собой эллипс. Минимальное расстояние от гномона dH соответствует верхней кульминации Солнца, а максимальное dL – его нижней кульминации:

$$d_{\rm H} = H \tan (90^{\circ} - h_{\rm H}) = H \tan (\varphi - \delta_{\rm F}).$$

$d_{\rm L} = H \tan (90^{\circ} - h_{\rm L}) = H \tan (180^{\circ} - \varphi - \delta_{\rm F}).$

Здесь H – высота гномона. Эти расстояния существенно различаются, что указывает на отличие широты ϕ от полюса. Мы можем видеть, что расстояние dH совпадает с большой полуосью практически круглого трека B, который равен H tan (90° – δB), а расстояние dL чуть меньше радиуса круга D, равного H tan (90° – δD). Из этого следует, что δF < δB и δF > δD. К тому же выводу можно было прийти существенно более простыми рассуждениями: в приполярных широтах большая полуось эллипса близка к H tan (90° – δ), и картины нужно расположить в порядке уменьшения большой полуоси: D, F, B.

В итоге, ответ на задание выглядит так: C, A, E, D, F, B. Представленные на рисунке треки соответствуют следующим датам:

C – 1 января (δ = –23°), широта –67°. 
A – 23 февраля (δ = –10°), широта –80°. 
E – 21 марта (δ = 0°), широта +56°. 
D – 12 апреля (δ = +9°), широта +90°. 
F – 1 мая (δ = +15°), широта +84°. 
B – 12 июня (δ = +23.2°), широта +88°.

2. Алгоритм оценивания. Система подсчета оценки базируется на вычислении правильных пар в ответе участника, аналогично заданию 1.

10/11.3. ТЕЛЕСКОП НА ЛЮБОЙ ВКУС