№ 10.4 / 11.4Задача 10.4 / 11.4
4. Условие. На шести рисунках представлено взаимное расположение дисков Солнца и Луны около горизонта во время некоторых солнечных затмений (в случае D затмение полное, положение Солнца показано пунктиром). Расставьте эти случаи в порядке возрастания наибольшей высоты над горизонтом, на которой в этот момент где-либо на Земле может наблюдаться хотя бы какое-нибудь солнечное затмение (вне зависимости от фазы, от минимальной до максимальной высоты). Орбиту Земли считать круговой, рефракцию не учитывать.
4. Решение. Обратим внимание, что в двух случаях (B и E) видимый диаметр Луны совпадает с видимым диаметром Солнца, в двух случаях (A и C) он меньше солнечного, и Луна располагается вблизи апогея, а еще в двух (D и F) Луна вблизи перигея, и ее угловой размер больше, чем у Солнца. Сам угловой размер Солнца по условию задачи всюду одинаковый. Рассмотрим, что из себя представляют тень и полутень Луны при разных расстояниях Луны от Земли:
Решение
Мы видим, что в случае апогея Луны, когда ее угловой диаметр минимальный, полутень на Земле достигает максимальных размеров. Именно она нас будет интересовать в данной задаче, поскольку максимальная высота над горизонтом в пяти из шести случаев будет соответствовать краю полутени и затмению с нулевой фазой. Рассмотрим, как будет располагаться полутень Луны на Земле в ситуациях A-F (рисунок на следующей странице).
В случае Е полутень Луны лишь касается Земли, затмение видно только в описанной в условии задачи точке на нулевой высоте. Очевидно, этот случай должен фигурировать в ответе первым. Напротив, в случае B полутень касается диска Земли изнутри. Учитывая, что диаметр полутени близок к двум диаметрам Луны, что больше диаметра Земли, полутень охватит центр видимого с Луны диска Земли, и частное затмение может быть видно в зените. Пункт B должен быть указан в ответе последним.
В случаях С и D на горизонте наблюдается центральное затмение, то есть центр полутени располагается на лимбе Земли. Наибольшая высота над горизонтом будет достигнута на ближайшей к центру диска Земли точке полутени. Так как в случае С радиус полутени больше, соответствующая точка С ближе к центру, и там частное затмение может быть видно на большей высоте, чем в точке D.
В случаях А и F Луна касается Солнца на небе сбоку, что означает перпендикулярность лимба и края полутени на рисунке. В случае А Луна располагается левее Солнца, а ее полутень, если смотреть с Луны – справа от точки лимба. Радиус полутени больше, чем в случае F, и ее край будет расположен ближе к центру диска Земли.
Для полноты картины мы можем добавить, что для обоих случаев центрального затмения (С и D) высота будет больше, чем в случаях A и F. Действительно, разница радиусов полутени в случаях C и D близка к произведению разности соответствующих расстояний до Луны и углового радиуса Солнца $(d_{\text{MAX}} - d_{\text{MIN}}) \cdot \rho$ , что не больше 234 км. В случаях A и F центр полутени будет вне Земли, и его расстояние до лимба будет удалено от лимба на расстояние
$$h = \sqrt{R^2 + r^2} - R \approx 900 \text{ км}.$$
Здесь R и r – радиусы Земли и полутени. Итак, ответ выглядит следующим образом: E, F, A, D, C, B.
4. Алгоритм оценивания. Система подсчета оценки базируется на вычислении правильных пар в ответе участника, аналогично заданию 1.
Ответ
E, F, A, D, C, B.