Процесс потери энергии станцией и одновременного увеличения скорости с уменьшением радиуса орбиты можно представить себе следующим образом. Будем рассматривать квазистационарный процесс: считать орбиту всё время круговой, а работу сил сопротивления трения

$$A = F \cdot L$$

сводить к изменению параметров этой круговой орбиты. Здесь F – сила сопротивления, L – пройденный путь. Сила F = ΔP/Δt находится из следующих соображений: в течение каждого времени Δt о станцию ударяется масса μ = ρ·S·V·Δt в среднем неподвижных молекул (ρ – плотность атмосферы на высоте полёта станции). В результате упругих столкновений их скорость относительно станции меняется от -V до +V, а относительно Земли – от 0 до 2V. То есть, за время Δt станция передаёт молекулам импульс

$$\Delta P = \mu \cdot 2V = 2V \cdot \rho \cdot S \cdot V \cdot \Delta t = 2 \cdot \rho \cdot S \cdot V^2 \cdot \Delta t,$$

Откуда

$$F = \Delta P/\Delta t = 2 \cdot \rho \cdot S \cdot V^2,$$

Таким образом, если за время τ = 24 часа станция пролетит расстояние L = V·τ, работа сил трения (и, соответственно, потеря энергии станцией) составит:

$$A = F \cdot L = 2 \cdot \rho \cdot S \cdot V^3 \cdot \tau,$$

Изменение энергии:

$$\Delta E = -A = -2 \cdot \rho \cdot S \cdot V^3 \cdot \tau.$$

С другой стороны, изменение энергии станции за это время составит

$$\Delta E = -GMm/2(R_0 + h + \Delta h) - \{-GMm/2(R_0 + h)\} \approx \Delta h \cdot GMm/2(R_0 + h)^2,$$

где Δh – изменение высоты орбиты, величина Δh – отрицательна!

$$-2 \cdot \rho \cdot S \cdot V^3 \cdot \tau = \Delta h \cdot GMm/2 (R_0 + h)^2,$$

$$\rho = -\Delta h \cdot GMm / \{4(R_0 + h)^2 \cdot S \cdot V^3 \cdot \tau\}$$

и, учитывая, что V**2** = GM/(R0+h), получаем

$$\rho = m\Delta h / \{4\tau S \cdot (GM)^{1/2} (R_0 + h)^{1/2} \}.$$

Численный ответ:

$$\rho = 3.86 \cdot 10^{\text{-10}} \text{ kg/m}^3 \approx 3.9 \cdot 10^{\text{-10}} \text{ kg/m}^3.$$

$\rho = m\Delta h / \{4\tau S \cdot (GM)^{1/2} (R_0 + h)^{1/2} \}$, Численный ответ: $$\rho = 3.86 \cdot 10^{\text{-10}} \text{ kg/m}^3 \approx 3.9 \cdot 10^{\text{-10}} \text{ kg/m}^3.$$