№ 9 Задача: 4Столкновения с Землей
- ? Каков диапазон скоростей, с которыми с Землей могут столкнуться опасные космические тела, принадлежащие Солнечной системе? Торможением тел в атмосфере Земли пренебречь.
Решение
- До возможного столкновения с Землей космическое тело находилось вдали от нашей планеты, вне зоны ее гравитационного влияния. В соответствии с законом сохранения энергии, какой бы низкой (в пределе нулевой) ни была скорость этого тела относительно Земли до сближения, оно будет падать на нашу планету со скоростью, не меньшей второй космической скорости
$$v_2 = \sqrt{\frac{2Gm}{R}},$$
равной 11.2 км/с. Здесь m и R — масса и радиус Земли. Это есть минимальная скорость столкновения космических тел с Землей. Для нахождения максимальной скорости учтем, что тело Солнечной системы в окрестностях Земли не может двигаться со скоростью, большей параболической скорости
$$v_P = \sqrt{\frac{2GM}{L}},$$
составляющей 42.1 км/с. Здесь M — масса Солнца, L — расстояние от Солнца до Земли. Эта скорость отличается от орбитальной скорости Земли $v_{\rm E}$ наличием множителя 2 в выражении под квадратным корнем. Максимальная скорость столкновения космического тела с Землей будет достигнута, если они движутся навстречу друг другу. По закону сохранения энергии, скорость падения будет увеличена за счет притяжения Земли и составит
$$v_{MAX} = \sqrt{(v_P + v_E)^2 + v_2^2} = \sqrt{\frac{(3 + 2\sqrt{2})GM}{L} + \frac{2Gm}{R}} = 72.8 \text{ km/c}.$$
Ответ
$v_{MAX} = \sqrt{(v_P + v_E)^2 + v_2^2} = \sqrt{\frac{(3 + 2\sqrt{2})GM}{L} + \frac{2Gm}{R}} = 72.8 \\text{ km/c}$.